Question

已知函数f（x）=ax3+bx2+cx在x=x0处取得极小值-4，使其导数f′（x）＞0的x的取值范围（1，3）．（1）求f

已知函数f（x）=ax3+bx2+cx在x=x0处取得极小值-4，使其导数f′（x）＞0的x的取值范围（1，3）．（1）求f（x）的解析式；（2）若过点A（-1，m）可作曲线y=f（x）的三条切线，求实数m的取值范围．

Answer 1

（1）f′（x）=3ax²+2bx+c，依题意有a＞0，且1，3分别为f（x）的极值小，极大值点，
∴

f′(1)＝0 f′(3)＝0 f(1)＝?4

解得a=-1，b=6，c=-9，
所以f（x）=-x³+6x²-9x；
（2）设过A点切线的切点坐标为（x₀，y₀），则切线的斜率k=-3x₀²+12x₀-9
切线方程为y=（-3x₀²+12x₀-9）（x+1）+m，
故y₀=（-3x₀²+12x₀-9）（x₀+1）+m=-x₀³+6x₀²-9x₀
要使过P可作曲线y=f（x）三条切线，则方程关于（-3x₀²+12x₀-9）（x₀+1）+m=-x₀³+6x₀²-9x₀有三解．
m=2x₀³-3x₀²-12x₀+9，令g（x）=2x³-3x²-12x+9，
g′（x）=6x²-6x-12=6（x+1）（x-2）=0，易知x=-1，2为g（x）的极值大、极小值点，
故g（x）_极小值=-11，g（x）_极大值=16，
故满足条件的m的取值范围：-11＜m＜16