Question

求定积分极限问题

Answer 1

lim(x->0) ∫(0->x) (x-t)f(t) dt /x^2 (0/0)
=lim(x->0) [xf(x) +∫(0->x)f(t) dt - xf(x) ]/(2x)
=lim(x->0) ∫(0->x)f(t) dt/(2x) (0/0)
=lim(x->0) f(x)/2
=f(0)/2
=1

追问

第一步怎么到第二步的

前一个xf(x)怎么来的

追答

L Hospital rule
分子， 分母分别求导

lim(x->0) ∫(0->x) (x-t)f(t) dt /x^2 (0/0)
=lim(x->0) d/dx∫(0->x) (x-t)f(t) dt / d/dx(x^2)

d/dx∫(0->x) (x-t)f(t) dt
=d/dx[ x∫(0->x) f(t) dt - ∫(0->x) tf(t) dt ]
= xf(x) + ∫(0->x) f(t) dt - xf(x)

d/dx[ x∫(0->x) f(t) dt ]
= xf(x) + ∫(0->x) f(t) dt

d/dx[ ∫(0->x) tf(t) dt ]
=xf(x)

Answer 2

为0/0型
罗必塔法则
=lim(x-->0)xf(x)/2x
=lim(x-->0)f(x)/2
=1

追问

上面那个怎么求导

分子

追答

【∫(0,x) f(x)dt】‘=f(x)