Question

设a,b,m,n属于R+,且m+n=1,试比较根号（ma+nb)与m根号a+n根号b的大小.

Answer 1

根号ma+nb与m根号a+n根号b都是正实数,所以只需要比较两者平方的大小
((ma+nb)^(1/2))^2-(m*a^(1/2)+n*b^(1/2))^2
=ma+nb-(a*m^2+b*n^2+2mn*(ab)^(1/2))
=a(m-m^2)+b(n-n^2)-2mn*(ab)^(1/2)
因为m+n=1所以m-m^2=m(1-m)=mn同理n-n^2=nm
所以a(m-m^2)+b(n-n^2)-2mn*(ab)^(1/2)
=amn+bmn-2mn*(ab)^(1/2)
=mn(a+b-2*(ab)^(1/2))
=mn((根号a-根号b)^2) 不小于0
所以((ma+nb)^(1/2))^2不小于(m*a^(1/2)+n*b^(1/2))^2
所以(ma+nb)^(1/2)不小于m*a^(1/2)+n*b^(1/2)
即 根号ma+nb 不小于 m根号a+n根号b
当a=b时根号ma+nb 等于 m根号a+n根号b ,
当a不等于b时根号ma+nb 大于 m根号a+n根号b
补充一下,a^b指a的b次幂,即a^2指a的平方,a^(1/2)指a的平方根