Question

设函数f(x)=2x^3-3(a+1)x^2+6ax+8,其中a∈R.若f(x)在(-∞,0)上为增函数，求a的取值范围。

设函数f(x)=2x^3-3(a+1)x^2+6ax+8,其中a∈R.若f(x)在(-∞,0)上为增函数，求a的取值范围。

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Answer 1

函数f(x)=2x^3-3(a+1)x^2+6ax+8
f'(x)=6x^2-6(a+1)x+6a
∵在（－∞，0）上为增函数
∴x在（－∞，0）上时，f'（x）＞0
6x^2-6(a+1)x+6a＞0
x^2-(a+1)x+a)＞0
(x-1)(x-a)＞0
当a＞1时，0＜x＜1或x＞a,x不在（－∞，0）内，不和题意
当a＜1时，a＜x＜0
所以a＜0

Answer 2

依题意得
f'(x)>0
6x² - 6(a+1)x + 6a >0
(x-1)(x-a)>0
当x<0时上式成立
分类
当a≥1时,满足条件"当x<0时(x-1)(x-a)>0成立"
当a<1时,a须满足a≥0才能使当x<0时(x-1)(x-a)>0成立

结论:满足题意的a的取值范围是a≥0

Answer 3

先求出函数f(x)=2x^3-3(a+1)x^2+6ax+8的导函数
f'(x)=6x^2-3(a+1)x+6a
当x<0时，f'(x）>0
根据二次函数求极值的知识就可以解出a的取值范围。