Question

在Rt三角形ABC中，角ACB=45度，角BAC=90度，点D是AB的中点，AF垂直CD于H交BC于F，

BE平行AC交AF的延长线于E，求证：BC垂直且平分DE。

Answer 1

设DE和BC交于P
在△ADC中，∠DAH+∠ADH=90°，∠ACH+∠ADH=90°，
∴∠DAH=∠DCA，
∵∠BAC=90°，BE∥AC，
∴∠CAD=∠ABE=90°．
又∵AB=CA，
∴在△ABE与△CAD中，
∠DAH=∠DCA，∠CAD=∠ABEAB=AC
∴△ABE≌△CAD（ASA），
∴AD=BE，
又∵AD=BD，
∴BD=BE，
在Rt△ABC中，∠ACB=45°，∠BAC=90°，AB=AC，
故∠ABC=45°．
∵BE∥AC，
∴∠EBD=90°，∠EBF=90°-45°=45°，
∴△DBP≌△EBP（SAS），
∴DP=EP，
即可得出BC垂直且平分DE．

Answer 2

证明：
∵∠BAC=90°，AH⊥CD
∴∠BAE+∠CAH=∠ACD+∠CAH=90°
∴∠BAE-∠ACD
∵AC=AB，∠ABE=∠CAD=90°
∴△ABE≌△ACD
∴AD=BE
∵AD=BD
∴BD=BE
∵∠DBC=∠EBC=45°
∴BC垂直平分DE（等腰三角形三线合一）

Answer 3

取BC中点M，连接MD，先△ADC≌△ABE，再四边形BDEM是正方形，问题解决