Question

一道初二数学题！求大神解答！高悬赏！速度~

如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=n·AC，CD⊥AB于D，点P为AB上一动点，PE⊥AC于E，PF⊥BC于F。
1）若n＝2，求AE:EP。
2）若n＝3，求EF:DF。
3）当n等于多少时，EF:DF＝2√3:3

Answer 1

1）因为PE⊥AC，所以Rt△ABC相似于Rt△APE，故：AE:EP＝AC：CB .........(1)
由题意知，n=BC:AC ........(2)
联系（1）和（2），得到：AP:EP=AC:CB=1/(BC:AC)=1/n
2)分三步计算：
（i）在Rt△BFP和Rt△BDC中，角B是公共角，所以Rt△BFP相似于Rt△BDC
故：BF:BD＝FP:CD............(3)
又四边形FPEC为矩形（四个角均为直角），所以：CE=FP(对边相等）.........(4)
结合（3）与（4）可以得到：BF:BD=CE:CD .................(5)
（ii）在Rt△ABC和Rt△ADC中，角A是公共角，故：Rt△ABC相似于Rt△ADC
得到：角ACD＝角B.......................(6)
（iii）在△CED和△BFD中，由（6）得到：角B＝角ECD（有一个角相等）
由（5）得到：BF:BD=CE:CD（相邻的两个边成比例）
已经满足了两个三角形相似的条件，所以：△CED相似于△BFD
所以：角CDE＝角BDF.................(7)
则：角FDE＝角FDC+角CDE＝角FDC+角BDF（此处用到结论（7））＝角BDC＝90度
所以：△EDF为直角三角形，且角FDE为直角...............(8)
（iv）在△AED和△CFD中，角A＝角FCD，角ADE＝角CDF（因为这两个角加上角CDE后都是直角），故得出△AED相似于△CFD，所以：AD:CD=ED:FD................(9)
（v）在Rt△ACD和Rt△FED中（此处利用了结论（8）），因为（9）：AD:ED=CD:FD
即两个直角边对应成比例，所以：Rt△ACD相似于Rt△FED
当然，可以推出：Rt△BAC也相似于Rt△FED..........(10)
由（10），EF:DF=AB:BC.....................(11)
由题意：BC＝n*AC，此题n=3，即BC＝3AC
而AB的平方＝BC的平方+AC的平方＝（3AC）^2+(AC)^2=9(AC)^2+(AC)^2=10(AC)^2
故AB＝（根号10）*AC
得：EF:DF=[(根号10)*AC]:[3*AC]=（根号10）:3
3)由于需要求出EF:DF＝2√3:3 ，根据（11）可知，此时必定AB:BC=EF:DF＝2√3:3
也就是AB＝2√3*BC/3
这时求：AC的平方＝AB的平方－BC的平方＝4*3*BC的平方/9－BC的平方
＝4/3*BC的平方－BC的平方＝1/3*BC的平方
AC＝1/根号3*BC
所以BC:AC=根号3，由题目中所给，此值即为所求n的大小，即：n=BC:AC=根号3

解毕。

追问

我i就爱...这么多啊，都是您手打的吗？辛苦了辛苦了，不过现在我已经会了，但还是谢谢您

Answer 2

第一问 直接用AEP与ACB相似 得到AE：EP=AC：CB=1：2
第二问：连接DE 先证△BPF∽△BCD
∴BF／BD＝PF／CD
∴BF／BD＝CE／CD
∵∠DCE＝∠B
∴△ECD∽△FBD
∴∠CDE＝∠BDF
再证△EDF是Rt△
∴DE／DF＝CD／BD＝AC／BC＝1／3
∴EF／DF＝√10／3
第三问 可以用第二问的一些证明结论
DEF是RT△
设EF=2√3a DF=3a 求得ED=√3a
即ED/DF=CD/BD=AC/CB=√3a/3a=√3/3
∴n=√3

Answer 3

AE:EP=AC:BC=1:n
EF/DF=√（1+n^2）/n=√10/3
EF:DF＝2√3:3
√（1+n^2）/n=2√3:3
n=√3

Answer 4

第一个，两个三角形相似，所以为1:2