Question

一道很难的数学逻辑推理问题，向高手求助，高悬赏，急！！！！！！！！

（2003年山东省数学竞赛题）：在18*18格的方格纸上的每一个方格中均填入一个彼此不相等的正整数，求证：无论哪种填法，至少有两对相邻的小方格（有一条公共的两个小方格称为一对相邻小方格），每对相邻的两小方格中所填之数的差均不小于10。

Answer 1

先看下图，18×18的方格共需要填写324个数字，给最小的数字命名为A，最大的数字命名为B，则B-A≥324-1=323。

①假设A和B分布在图中距离最远的两个方格，方格甲和方格乙。

此时，由方格甲到方格乙需要走的路线是最远的，并且存在两条相等的最远路线，他们是路线1和路线2。

路线1中，“相邻方格”的数量为（18-1）+（18-1）=34个。

路线2中，“相邻方格”的数量也是34个。

如果路线1中所有相邻的方格数字之差均小于10，即最大为9，那么：路线1中，方格甲和方格乙之间的最大值为34×9=306，这与B-A≥323矛盾。所以路线1中至少有一个相邻方格所填数值之差≥10。

同理路线2中也有一个相邻方格所填数值之差≥10。

即：至少有两对相邻的小方格，每对相邻的两小方格中所填之数的差均不小于10。

②假设图中A和B不在距离最远的两个方格，那么路线1和路线2中，“相邻方格”的数量<34个，按照上面的方法同样可证明：路线1和路线2中分别至少有一个相邻方格所填数值之差≥10，

即：至少有两对相邻的小方格，每对相邻的两小方格中所填之数的差均不小于10。

至此，命题得以证明。

Answer 2

真难，做半天没思路，18*18每个格子都要填啊，随便什么正整数，没有范围限制的？

这是什么级别的竞赛题？初中还是高中？

留名关注！

Answer 3

99-06年山东省初中数学竞赛试题汇编(含答案). 百度文库中有详细解答。第20页。 1)当a和b所在的方格既不同行又不同列时，从 a所在的方格出发，可以通过一系列向相邻格(上下或左右)的移动而达到6所在的格．如图(1)所示．由于a和b既不同行又不同列，总存在两条完全不同的路线(两路线途径的方格无一相同)，由a所在的方格到达b所在的方格．显然，无论是线路甲，还是线路乙，其相邻移动的次数均不超过17+17=34次．若在线路甲上任何相邻两方格所填之数的差均小于或等于9，则323≤b-a≤34×9=306．这与事实不符．路线乙的情况完全相同，所以，在路线甲和路线乙中各存在一对相邻小方格，其中所填之数的差均不小于10．(2)当a和b所在的方格同行或同列时．与情况1类似，如图(2)所示，同样可以找到两条完全不同的，移动次数不大于34次的路线甲和路线乙，其中各存在一对相邻小方格，其中所填之数的差均不小于10．（图在文库中）