Question

如何判断积分区域关于直线对称？

Answer 1

1、积分区域D关于直线y=x对称，则

(1){D区域}∫∫f(x,y)dxdy＝{D1区域}∫∫f(x,y)dxdy，当f(y，x)＝f(x，y)

＝0，当f(y，x)＝－f(x，y)

其中D1＝{(x，y)|(x，y)∈D，y≥x)也可换为D2={(x，y)|(x，y)∈D，y≤x}；

2、{D区域}∫∫f(x,y)dσ＝{D区域}∫∫f(y,x)dσ

这是二重积分的特殊性质，非常有用。该性质表明，当积分区域D关于直线y=x对称时，二重积分中被积函数的两个变量可以互换位置，常称有此性质的D具有关于积分变量的对称性。

积分的线性性质

性质1：（积分可加性） 函数和（差）的二重积分等于各函数二重积分的和（差）。

性质2：（积分满足数乘） 被积函数的常系数因子可以提到积分号外。