Question

已知F1F2是椭圆的两个焦点 p为椭圆上一点 角F1PF2=60°,

已知F1F2是椭圆的两个焦点 p为椭圆上一点 角F1PF2=60°,1 求椭圆离心率的范围
2求证三角形F1pF2的面积只与椭圆的短轴长有关

Answer 1

1，当角F1PF2为角F1BF2时，c/(根号b^2+c^2)=sin(1/2)F1PF2=sin30=1/2，又a^2=b^2+c^2,所以c/a=1/2，e=c/a=1/2,所以椭圆的离心率的范围为[1/2,1)2，因为在三角形F1PF2中，角F1PF2=60，所以cosf1pf2=(lpF1l^2+lpf2l^2-4c^2)/pf1*pf2=1/2,所以（lpf1l+lpf2l)^2-4c^2=3pf1*pf2,又lpf1l+lpf2l=2a,且a^2=b^2+c^2，故pf1*pf2=4b^2/3,因此三角形面积为（1/2)*lpf1l*lpf2l*sinf1pf2=(1/2)*(4b^2/3)*2分之根号3=（b^2乘于根号3）/3，由此可知三角形F1pF2的面积只与椭圆的短轴长有关

Answer 2

1）
PF1^2+PF2^2-2PF1PF2cos60=F1F2^2
PF1^2+PF2^2-PF1PF2=4c^2
(PF1+PF2)^2-3PF1PF2=4c^2
PF1PF2=(4a^2-4c^2)/3
而：PF1PF2≤[(PF1+PF2)/2]^2=a^2
所以，4a^2-4c^2≤a^2
3a^2≤4c^2
e^2=c^2/a^2≥3/4
e≥√3/2
所以，椭圆离心率的范围：√3/2≤e<1

2)
由1)知,PF1*PF2=(4a^2-4c^2)/3=4b^2/3
所以，
三角形F1PF2的面积
=PF1*PF2*sin60*1/2
=√3b^2/3
只与椭圆的短轴长有关

Answer 3

1.因为角F1PF2=60°所以其最大∠应大于60所以离心率应大于等于sin30°也就是大于等于2分之12.可以利用正弦定理求出其面积表达式然后用余弦定理将PF1乘PF2替换就可以接了另外告诉你 S=b2tan(2分之1）∠F1pF2