Question

数学几何问题，急需帮助！

已知等腰梯形ABCD中，AB//CD,AD=BC,E是AB的中点，F是BC上一点，且∠DEF=∠A，若AB=12,AD=8,CD=4,则三角形DEF的面积等于多少？ 如果解出来拜托解释一下，急需急需！

Answer 1

∠AED=180°-∠A-∠ADE=180°-∠DEF-∠BEF
∵∠DEF=∠A
∴∠BEF=∠ADE
又ABCD是等腰梯形
∴∠B=∠A
∴△BEF∽△ADE
∴DE:EF=AD:BE=AD:AE(∵AE=BE)
∴△DEF∽△DAE
∴S△DEF:S△DAE=DE²:DA²
作DG⊥AB于G，连CG
∵AB=12，CD=4
易证AG=2EG=CD=4
∵AD=8
∴DG=4√3，DE=2√13
S△DAE=AE·DG/2=12√3
∴S△DEF=S△DAE·DE²:DA²=39√3/4

或者过D做DH垂直AB与H，做FG平行AB，FG交AD于G，交DE于I
设角AED=a
因为AB=3CD，故AH=CD=4
因为AD=8，故角A= 角B = 角DEF=60°
且有DH = 4*根号3
角BFE = 180°-60°-角FEB = a
所欲△AED相似于△BFE
即AD：AE=BE：BF
E为中点，BE= AE = 6
所以BF = 36/8=4.5
CF = 3.5
CF：FB= 7:9
由平行线比例线段知道：
IF-CD：BE-IF=7:9
解得：IF= 4.875

△DEF面积为：
0.5*IF*DH = 9.75根号3

过D做DH垂直AB交AB于H
2*AH+CD=AB, AH=4=1/2AD, ∠A=60, DH=(根号3)/2*AD=(根号3)/2*8=4根号3
∠DEF=∠A=60
∠A=∠B，∠AED=180-∠DEF-∠FEB=180-60-∠FEB=∠BFE
△DAE与△EBF相似，BF：AE=BE：AD
BF=AE*BE/AD=6*6/8=9/2
S△DEF=S梯形DEBC-S△DFC-S△EBF
=1/2*(DC+EB)*DH-1/2*DC*(DH-BF*sin60)-1/2*BE*BF*sin60
=1/2*(4+6)*4根号3-1/2*4*(4根号3-9/2*根号3/2)-1/2*6*9/2*根号3/2
=根号3*[20-2*(4-9/4)-3*9/4]
=根号3*[20-7/2-27/4]
=根号3*[(80-14-27)/4]
=39/4*根号3

Answer 2

延长AD和BC，相交于一点G。则三角形ABG是正三角形。∠A=∠B=∠G=60°。
三角形DCG也是正三角形。各边长4。
设GF=L，则FB=12-L。
∵∠GFD+60°+∠EFB=180°
又∵在三角形EBF中，∠FEB+60°+∠EFB=180°
在三角形DFG中，∠DFG+60°+∠G=180°
∴∠DFG=∠FEB
∴三角形DFG∽三角形FEB
DF/L=FB/EB
即4/L=（12-L）/6。
解此方程，得L=6+2√3。（L=6-2√3＜4，舍去。）
S△DEF=S△ABG-S△AED-S△DFG-S△EFB
=0.5*12*12-0.5*8*6*sin60°-0.5*4*(6+2√3）*sin60°-0.5*6*（12-6-2√3）*sin60°
=72-（12√3）-（6√3+6）-（9√3-9）
=75-27√3

Answer 3

∠AED=180°-∠A-∠ADE=180°-∠DEF-∠BEF
∵∠DEF=∠A
∴∠BEF=∠ADE
又ABCD是等腰梯形
∴∠B=∠A
∴△BEF∽△ADE
∴DE:EF=AD:BE=AD:AE(∵AE=BE)
∴△DEF∽△DAE
∴S△DEF:S△DAE=DE²:DA²
做DG⊥AB于G，连CG，做CH⊥AB于H
∵AB=12，CD=4
∴GH=4,
∴AG=(AB-GH)/2=4
∵AD=8
∴DG=4√3，DE=2√13
S△DAE=AE·DG/2=12√3
∴S△DEF=S△DAE·DE²:DA²=39√3/4

Answer 4

解：分别过点D，C作DM垂直AB于M ,CN垂直AB于N
所以角AMD=角BNC=90度
角DME=90度
DM平行CN
因为DC平行AB
所以四边形DMNC是平行四边形
所以CD=NM
DM=CN
因为AD=BC
所以直角三角形ADM和直角三角形BCN全等（HL)
所以AM=BN
因为AB=AM+NM+BN=12
CD=NM=4
所以AM=4
因为AD=8
所以AM=1/2AD
因为角AMD=90度(已证）
所以角ADM=30度
由勾股定理得：
AD^2=AM^2+DM^2
所以DM=4倍根号3
因为角A+角ADM+角AMD=180度
所以角A=60度
因为角A=角DEF
所以角DEF=60度
因为角DME=90度（已证）
由勾股定理得：
DE^2=DM^2+ME^2
因为E是AB的中点
所以AE=BE=1/2AB=6
ME=AE-AM=6-4=2
所以DE=2倍根号13
因为角A+角ADE+角AED=180度
所以角ADE+角AED=120度
因为角AED+角DEF+角BEF=180度
所以角AED+角BEF=120度
所以角ADE=角BEF
因为四边形ABCD是等腰梯形
所以角A=角B=60度
所以三角形ADE和三角形BFE相似（AA)
所以AE/BE=AD/BE=DE/EF
所以EF=3倍根号13/2
因为三角形DEF的面积=1/2*DE*EF*sin角DEF
=1/2*2倍根号13*3倍根号13/2*根号3/2
=39倍根号3/4
所以三角形DEF的面积=39倍根号3/4

Answer 5

作高 可求出h为4√3 那么S梯形为32√3 S三角形AEC为8√3 S四边形=32√3 -8√3=24√3 ∵角A=角DEF=角B 所以三角形ADE相似三角形BEF （B字形相似，∠EFB+∠FEB+∠B=∠DEA+∠FEB+∠DEF=180°，化简一下就是∠DEA=∠EFB。） 进一步得出DE平行BC 又已知AB平行CD 所以四边形BECD为品行四边形 点D出发做BC的高 因为平行线间的垂涎段处处相等 又因为CF=BF 等底等高 两个三角形面积是等的 所以三角形DEF=24√3-两个三角形EFB 从相似可得出 三角EFB面积为三角ADE 相似比的平方 也就是三角行EFB比三角形AED=（FB比AD）的平方 等于三角形AED的1/4=2√3 所以S三角形DEF为24√3-2X2√3 =20√3 （我不知道答案对不对 反正我这思路是对的

Answer 6