Question

已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(2-x)=f(x),且在[-1,0)上是减函数

已知f(x)是定义在R上的奇函数，且函数f(x)在[0,1)上单调递减，并满足f(2-x)=f(x),若方程f(x)=-1在[0,1)上有实数根，求该方称在区间[-1,3]上所有实数之根之和。
在区间[-1,7]上所有实数之根之和

Answer 1

解：由f(2-x)=f(x)知f(x)的图像关于直线x=1对称，下面证明f(x)是一个周期函数，
由f(x)是R上的奇函数知f(2-x)=-f(x-2)，f(x-4)=-f(4-x)
在f(2-x)=f(x)中，以x-2代x得f(2-(x-2))=f(x-2)即f(4-x)=f(x-2)，
所以f(x)=f(2-x)=-f(4-x)=f(x-4)即f(x+4)=f(x)，也就是说f(x)是以4为周期的周期函数。
考虑f(x)的一个周期，例如[-1,3]，由f(x)在[0,1)上是减函数知f(x)在(1,2]上是增函数，
f(x)在(-1,0]上是减函数，f(x)在[2,3)上是增函数。
对于奇函数f(x)有f(0)=0，f(2)=f(2-2)=f(0)=0，
故当x∈(0,1)时，f(x)<f(0)=0，当x∈(1,2)时，f(x)<f(2)=0，
当x∈(-1,0)时，f(x)>f(0)=0，当x∈(2,3)时，f(x)>f(2)=0，
方程f(x)=-1在[0,1)(实际就是(0,1))上有实数根，
则这实数根是唯一的，因为f(x)在(0,1)上是单调函数
则由于f(2-x)=f(x)，故方程f(x)=-1在(1,2)上有唯一实数根。
在(-1,0)和(2,3)上f(x)>0，则方程f(x)=-1在(-1,0)和(2,3)上没有实数根。
从而方程f(x)=-1在一个周期内有且仅有两个实数根。
当x∈[-1,3]，方程f(x)=-1的两实数根之和为x+2-x=2，
当x∈[-1,7]，方程f(x)=-1的所有四个实数根之和为x+2-x+4+x+4+2-x=2+8+2=12，
一般地，当x∈[-1,4n-1]，n∈N*，方程f(x)=-1的所有实数根之和为=2+8+2+8*2+2+8*3+2+…+8*(n-1)+2=2n+8*(1+2+3+…+n-1)=2n+8*n*(n-1)/2=2n+4n²-4n=4n²-2n.

有不明白的地方可以追问，我可以给你详细说明。

Answer 2

由f(2-x)=f(x)
f(-(-2+x))=f(x)
由于f(x)是奇函数
f(x-2)=-f(x)
假设f(x)=-1在[0,1)实数根为x1
于是得到
f(-x1)=1
f(-x1+2-2)=-f(-x1+2)=1
f(-x1+2)=-1
显然-x1+2<3
即-x1+2是满足条件的一个实根
f(x1+2-2)=-f(x1+2)=-1
f(x1+2)=1
由于函数的单调性f(3)>f(x1+2)=1
(-1,3)中只有两个实数根
x1+（-x1+2）=2

Answer 3

根据f(2-x)=f(x)可以知道函数关于X=1对称，那么把图画出来，就可以知道答案分别是4和24

追问

第二个和是12

追答

不好意思，可能是我算错了吧，但方法就是这样，希望对你有所帮助。