Question

高中数学两圆公共弦的距离怎么求

Answer 1

有两种方法：

方法一：
首先，用两圆相减，得出相交弦方程；
第二，将其中一圆化成标准方程，求出圆心，并用点到直线距离公式求圆心到弦方程的距离；
第三，根据圆半径，半弦长，圆心到弦的距离构成的直角三角形，求出半弦长。
从而得出弦长。

第二种方法，解两圆的方程，解得交点，然后根据两点间距离公式算弦长。

例如
⊙A的方程为x2+y2-2x-2y-7=0,（1）
⊙B的方程为x2+y2+2x+2y-2=0，（2）
求公共弦长
解法一：（方法一）
①（2）-（1）得
相交弦方程为：
4x+4y+5=0
②（1）式配方得
（x-1)²+（y-1)²=9=3²
从而圆心为（1,1）
由点到直线距离公式得
圆心（1,1）到弦方程4x+4y+5=0的距离为：
|4×1+4×1+5|/√(4²+4²）=13√2/8.
③根据圆半径根据圆半径3，半弦长，圆心到弦的距离13√2/8构成的直角三角形，
求出半弦长为：
√[3²-（13√2/8）²]=√238/8,
∴公共弦长=2×半弦长=√238/4。

解法二：（方法二）
（略）

Answer 2

可以用解析法：

由A：（x-1）²+（y-1)²=3²

B：（x+1)²+（y+1)²=2²，

∴AB=√（2²+2²）=2√2.

设弦CD角与圆心距AB交于E，

AC=AD=3，BC=BD=2，

设BE=x，AE=2√2-x，

3²-（2√2-x）²=2²-x²，

x=3/4√2=3√2/8

CE²=2²-（3√2）/8）²=√119/32

CE=√238/8

CD=2CE=√238/4.

Answer 3

连接两圆圆心，算出距离
圆心距和两圆半径构成三角形，可求出圆心连线这条边的高，乘以2即可

追问

假如是这个例子
⊙A的方程为x2+y2-2x-2y-7=0,⊙B的方程为x2+y2+2x+2y-2=0，
求公共弦长怎么办 求高的具体步骤可以讲下吗

追答

可以看出AB圆心分别为（1,1）和（-1，-1）
半径分别为3和2
两圆心之间距离为2√2
设两圆交于D
可知cos∠ABD=3√2/16
即sin∠ABD=√119/8√2
即：高=OBsin∠ABD=√119/4√2
弦长=2*高=√238/4

Answer 4

设弦长X然后组成的直角三角形的关系列出圆心距离的方程

追问

假如是这个例子
⊙A的方程为x2+y2-2x-2y-7=0,⊙B的方程为x2+y2+2x+2y-2=0，
求公共弦长怎么办 求高的具体步骤可以讲下吗

追答

圆A方程化为（X-1)2+(Y-1)2=9，圆B化为（X+1)2+(Y+1)2=4,所以圆A、B的圆心坐标分别是（1,1）（-1，-1），半径是3,2，则可根据两点距离公式：(1+1)2+(1+1)2=8再开根号，求得两圆心距离为2√2，设公共弦长为x，列出方程9-x/2的平方再总开跟号+4-X/2的平方再总开根号=2√2