Question

求助~~~高中数学 含参不等式恒成立问题

已知函数f（x）=x²-2ax+1，g（x）=a/x，其中a＞0，x≠0
（1）.对任意x∈[1,2]，都有f（x）＞g（x）恒成立，求实数a的取值范围
（2）.对任意x1∈[1,2]，x2∈[2,4]，都有f（x1）＞g（x2）恒成立，求实数a的取值范围

Answer 1

已知函数f（x）=x²-2ax+1，g（x）=a/x，其中a＞0，x≠0
（1）.对任意x∈[1,2]，都有f（x）＞g（x）恒成立，求实数a的取值范围
（2）.对任意x1∈[1,2]，x2∈[2,4]，都有f（x1）＞g（x2）恒成立，求实数a的取值范围

解：（1）.对任意的x∈[1,2]，都有f(x)＞g(x)恒成立
就是先求f(x)在[1,2]上的最小值
和g(x)在[1,2]上的最大值，
显然g(x)在[1,2]上的最大值为g(1)=a
而f(x)最小值就要讨论啦，f(x)=(x-a)²+1-a²
①当 0<a<1,那最小值就是f(1)=2-2a,
就要满足 2-2a>a,解得a<2/3
于是0<a<2/3.
②当a>2,于是最小值就是f(2)=5-4a
要满足 5-4a>a,解得a<1
无解
③当1≤a≤2，那么最小值就是f(a)=1-a²
需要满足1-a²>a解得 （-1-√5）/2<a<（-1+√5）/2
于是1≤a<（-1+√5）/2
综上所述
就是a的范围是
0<a<2/3和1≤a<（-1+√5）/2

（2）.对任意的x1∈[1,2]，x2∈[2,4]，f(x1)＞g(x2)恒成立
就是先求f(x)在[1,2]上的最小值
和g(x)在[2,4]上的最大值，
显然g(x)在[2,4]上的最大值为g(2)=a/2
而f(x)最小值就要讨论啦，f(x)=(x-a)²+1-a²
①当 0<a<1,那最小值就是f(1)=2-2a,
就要满足 2-2a>a/2,解得a<4/5
于是0<a<4/5
②当a>2,于是最小值就是f(2)=5-4a
要满足 5-4a>a/2,解得a<10/9
无解
③当1≤a≤2，那么最小值就是f(a)=1-a²
需要满足1-a²>a/2解得 （-1-√17）/4<a<（-1+√17）/4
于是1≤a<（-1+√17）/4
综上所述
就是a的范围是
0<a<4/5和1≤a<（-1+√17）/4

Answer 2

1）
fx>gx
即x²-2ax+1-a/x>0

Fx=x²-2ax+1-a/x
因为Fx>0

所以x^3-2ax^2+x-a>0
令Gx=x^3-2ax^2+x-a
然后对其求导得
Gx'= 3x^2-4ax+1
以下你对a值讨论即可了
2）
第二步就是找出fx在1到2的最小值，找出gx在2到4的最大值
（均以含a的式子表达然后得出关于a的不等式即可解出a的取值范围）

以下是关键的 要靠自己了，大致的思路已给出 要想学会的话还得自己做哦
如果觉得满意的话 希望能得到您的认可