Question

如图，△ABC内接于⊙O，点D在半径OB的延长线上，∠BCD=∠A=30°．

如图，△ABC内接于⊙O，点D在半径OB的延长线上，∠BCD=∠A=30°．（1）试判断直线CD与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若⊙O的半径长为1，求由弧BC、线段CD和BD所围成的阴影部分面积．（结果保留π和根号）

Answer 1

解：（1）直线CD与⊙O相切，
∵在⊙O中，∠COB=2∠CAB=2×30°=60°，
又∵OB=OC，
∴△OBC是正三角形，
∴∠OCB=60°，
又∵∠BCD=30°，
∴∠OCD=60°+30°=90°，
∴OC⊥CD，
又∵OC是半径，
∴直线CD与⊙O相切．
（2）由（1）得△OCD是Rt△，∠COB=60°，
∵OC=1，
∴CD=√3，
∴S△COD=1/2OC·CD=√3/2，
又∵S扇形OCB=π/6，
∴S阴影=S△COD-S扇形OCB=√3/2-π/6=3√3-π/6。