Question

求微分方程y''-4y+4y=e^2x的通解

详解。。谢谢

Answer 1

应该是y″-4y′+4y=e∧2x吧？
解法如下：y″-4y’+4y=e∧2x 为二阶常系数非齐次线性线性微分方程 ,其中λ=2
其特征方程为：r2-4r+4=0 解得：r1=r2=2
故与原微分方程对应的齐次线性微分方程的通解为：Y=（C1+C2x）e2x
因为λ=2是特征方程的双根，所以应设y*=ax2e2x
则y*′=2axe2x+2ax2e2x y*″=2ae2x+8axe2x+4ax2e2x
代入原方程解得a=1/2 因此求的一个特解为：y*= ½x2e2x
故所求通解为：y=(C1+C2x)e2x+ ½x2e2x
你看对不对，不对再问我。

追问

最终结果是对的。
但是我想问问你怎么判断它是原方程的单根还是双根
情况不同时y*分别对应什么了？

追答

首先解得特征方程的根，r1，r2，若λ既不等于r1，也不等于r2，则设y*时系数x的0次方。若r1≠r2，λ等于r1、r2 中的一个，则设y*时系数x的1次方。若r1=r2=λ，则设y*时系数x的2次方。、、、给分 啊，同学！！！

Answer 2

y''-4y+4y=0的特征根：2,2
因为2是二重根，特解y=Ax^2e^2x y'=2Axe^2x+2Ax^2e^2x y''=2Ae^2x+8Axe^2x+2Ax^2e^2x
代入可求出A
通解y=(C1+C2x)e^2x+Ax^2e^2x