数分题求解? 5
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这里是作为数项级数的收敛?
首先由Leibniz判别法, 易得∑(-1)^n/n收敛.
当x = 1, ∑(-1)^n/n·x^n/(1+x^n) = 1/2·∑(-1)^n/n收敛.
当x < 1, 由∑(-1)^n/n收敛, x^n/(1+x^n) = 1/(1+1/x^n)单调递减趋于0,
根据Abel判别法, ∑(-1)^n/n·x^n/(1+x^n)收敛.
当x > 1, 由∑(-1)^n/n收敛, 1/(1+x^n)单调递减趋于0,
根据Abel判别法, ∑(-1)^n/n·1/(1+x^n)收敛.
进而∑(-1)^n/n·x^n/(1+x^n) = ∑((-1)^n/n-(-1)^n/n·1/(1+x^n))也收敛.
首先由Leibniz判别法, 易得∑(-1)^n/n收敛.
当x = 1, ∑(-1)^n/n·x^n/(1+x^n) = 1/2·∑(-1)^n/n收敛.
当x < 1, 由∑(-1)^n/n收敛, x^n/(1+x^n) = 1/(1+1/x^n)单调递减趋于0,
根据Abel判别法, ∑(-1)^n/n·x^n/(1+x^n)收敛.
当x > 1, 由∑(-1)^n/n收敛, 1/(1+x^n)单调递减趋于0,
根据Abel判别法, ∑(-1)^n/n·1/(1+x^n)收敛.
进而∑(-1)^n/n·x^n/(1+x^n) = ∑((-1)^n/n-(-1)^n/n·1/(1+x^n))也收敛.
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