Question

已知集合M是满足下列性质的函数f(x)的全体：存在非零常数T，使得对任意x属于R，有f(x+T)=Tf(x)成立

（1）函数f(x)=x是否属于M？说明理由（2）设函数f（x）=a的x次方（a＞0且a≠1）的图象与Y=x的图像有公共点证明 f（x）=a的x次方 属于M（3)若函数f(x)=sinkx属于M求实数k的取值范围

Answer 1

解：（1）对于非零常数T，f(x+T)=x+T, Tf(x)=Tx. 因为对任意x∈R，x+T= Tx不能恒成立，所以f(x)= x不属于M
（2）因为函数f(x)=ax（a>0且a≠1）的图象与函数y=x的图象有公共点，
所以方程组：有解，消去y得ax=x,
显然x=0不是方程ax=x的解，所以存在非零常数T，使aT=T.
于是对于f(x)=ax有 故f(x)=ax∈M.
（3）当k=0时，f(x)=0，显然f(x)=0∈M.
当k≠0时，因为f(x)=sinkx∈M，所以存在非零常数T，对任意x∈R，有
f(x+T)=T f(x)成立，即sin(kx+kT)=Tsinkx .
因为k≠0，且x∈R，所以kx∈R，kx+kT∈R，
于是sinkx ∈[－1，1]，sin(kx+kT) ∈[－1，1]，
故要使sin(kx+kT)=Tsinkx .成立，
只有T=，当T=1时，sin(kx+k)=sinkx 成立，则k=2mπ, m∈Z .
当T=－1时，sin(kx－k)=－sinkx 成立，
即sin(kx－k+π)= sinkx 成立，
则－k+π=2mπ, m∈Z ，即k=－2(m－1) π, m∈Z .
综合得，实数k的取值范围是{k|k= mπ, m∈Z}

Answer 2

（1）不属于，因为不存在非零常数使得f(x+T)=Tf(x)成立；（2）由两函数有公共点，则a^x=x (a),对一切x属于R均成立; 则a^T=T(b)亦成立； 将（a）（b）两式左右分别相乘有 a^x * a^T=x*T a^(x+T)=T*x=T*a^x 即 f(x+T)=Tf(x);成立（3）由 sink(x+T)=Tsinkx,将sinkx看做一个整体来计算出T的取值范围。