Question

已知函数f(x)=(x^2+2x+3)/x,x∈[2,+∞)⑴判断f(x)的单调性，并求其最值⑵若

已知函数f(x)=(x^2+2x+3)/x,x∈[2,+∞)⑴判断f(x)的单调性，并求其最值⑵若f(x)>a恒成立，求a的取值范围

Answer 1

（1）因为x属于[2,+∞)
所以f(x)=(x^2+2x+3)/x=x+2+3/x
f(x)导数f`(x)=1-3/(x^2)
因为x属于[2,+∞)，所以x^2>=4所以0<3/(x^2)<=3/4
所以1>f`(x)>=1/4,所以f(x)在[2,+∞)上是增函数
所以f(x)min=f(2)=11/2 无最大值
注意：可能会想到利用基本不等式x+3/x>=2*根号3
但是取等号的条件x=3/x即x=根号3不在定义域内，所以等号取不到。
若用定义证明单调性的话：
令2<=x1<x2
则f(x2)-f(x1)=(x2+2+3/x2)-(x1+2+3/x1)=(x2-x1)+(3/x2-3/x1)=(x2-x1)+3(x1-x2)/x1x2=(x2-x1)(1-3/x1x2)
因为2<=x1<x2,所以x2-x1>0
x1x2>=4,所以1/4<=(1-3/x1x2)<1
所以(x2-x1)(1-3/x1x2)>0即f(x2)-f(x1)>0
所以f(x2)>f(x1)
所以f(x)在[2,+∞)上是增函数
所以最小值f(x)min=f(2)=11/2 无最大值
（2）因为f(x)>a恒成立

所以f(x)min>a
即11/2>a
a<11/2

Answer 2

答：
f(x)=(x²+2x+3)/x=x+3/x+2，x>=2

（1）f(x)求导得：f'(x)=1-3/x²>0
所以：f(x)单调递增
当x=2时，f(x)取得最小值f(2)=2+3/2+2=11/2

（2）f(x)>a在x>=2时恒成立
即：f(x)>=f(2)=11/2>a
所以：a<11/2

Answer 3

1）f'(x)=(x^2-3)/x^2=1-3/x^2
∵x∈[2,+∞) ∴f'(x)>0恒成立，f(x)单调递增
最小值为f(2)=11/2
2）f(x)>=11/2
a<11/2