Question

设x1,x2是关于x的方程x2-(k+2)x+2k+1=0的两个实数根,且X1²+X2²=11

①求k的值
②利用根和系数的关系求一个一元一次方程.是他的一个跟石原方程的两个根的和，另一个根是原方程两根差的平方

Answer 1

(1) x1+x2=k+2
x1x2=2k+1
(x1+x2)²=x1²+x2²+2x1x2
=11+2x1x2
(k+2)²=11+2(2k+1)
k²+4k+4=11+4k+2
k²=9
k=±3
k=3时，x²-5x+7=0

Δ=25-4*7<0（与两实数根矛盾，故舍去k=3）
k=-3时，x²+x-5=0
Δ=1+20=21>0，k=-3符合题意，故k=-3
(2) x²+x-5=0
x1+x2=-1
x1x2=-5
新方程的两根为x3,x4
x3=x1+x2=-1
x4=(x1-x2)²
=x1²+x2²-2x1x2
=11-2*(-5)
=21
x3+x4=-1+21=20
x3x4=(-1)*21=-21
新方程：x²-20x-21=0

Answer 2

x1,x2是关于x的方程x2-(k+2)x+2k+1=0的两个实数根
∴x1+x2=k+2,x1x2=2k+1
∵x²1+x²2=11
∴（x1+x2)²-2x1x2=(k+2)²-2(2k+1)=11
整理得k²=9,k=±3
∵方程有实数根
∴Δ=（k+2)²-4(2k+1)≥0
k=3时，Δ<3,不合题意
∴k=-3
(2)
k=-3时，原方程为
x²+x-5=0
一个一元二次方程
新方程的根为m,n
则m=x1+x2=-1 ,x1x2=-5
n=(x1-x2)²=x²1+x²2-2x1x2
=11+10=21
∴m+n=16,mn=-105
新方程为x²-16x-105=0

追问

∴m+n=16,mn=-105
你怎么得到的？

追答

看错了m值，看成了-5，应该为-1

Answer 3

（1）x1+x2=k+2;
x1x2=2k+1;
x1²+x2²=(x1+x2)²-2x1x2=(k+2)²-4k-2=k²+4k+4-4k-2=k²+2=11;
k²=9;
k=±3;
Δ=(k+2)²-4(2k+1)=k²+4k+4-8k-4=k²-4k≥0;
k≥4或k≤0；
所以k=-3；
（2）x3=(x1-x2)²=(x1+x2)²-4x1x2=（k+2）²-8k-4=k²-4k;
x4=x1+x2=k+2;
x3+x4=k²-3k+2;
x3x4=(k+2)(k²-4k)=k(k+2)(k-4);
所以一元二次方程为x²-（k²-3k+2）x+k(k+2)(k-4)=0;
k=-3;所以是x²-20x-21=0;

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追问

很对不起，不是不给你满意答案，是我现在才初二，看你的解题过程有些看不懂！很抱歉！不过也很感谢