Question

当-20<m<-10时,x+,+y有整数解,求x²+xy++y²+2014的值？

Answer 1

我们先考虑 $x^2 + xy + y^2$ 这个式子，注意到 $x^2 + y^2 \geq 2xy$，所以 $x^2 + xy + y^2 \geq 3xy$，而 $x^2 + xy + y^2 = (x + y)^2 - xy$，故 $x^2 + xy + y^2 \leq (x + y)^2$，因此 $2xy \leq (x + y)^2 - (x^2 + xy + y^2) \leq xy$，所以 $xy \leq 0$，即 $x$ 和 $y$ 不同号。又因为 $-20 < m < -10$，所以 $-20 - m > 0$，从而我们有 $x + y = -m < 0$，于是 $x$ 和 $y$ 的符号是 $(-,+)$ 或 $(+,-)$。假设 $x > y$，则有
�2+��+�2+2014=(�+�)2−��+2014=�2+2014−��=(�−�)2+2��+2014≥2��+2014>0x2+xy+y2+2014=(x+y)2−xy+2014=m2+2014−xy=(x−y)2+2xy+2014≥2xy+2014>0
所以 $x$ 和 $y$ 的符号必须相反，从而 $x = -m - a$，$y = a$，其中 $a$ 是正整数。于是我们有
�2+��+�2+2014=2�2+�2+2��+2014=(�+�)2+2014−�2=(�+�)2+1990.x2+xy+y2+2014=2a2+m2+2am+2014=(a+m)2+2014−m2=(a+m)2+1990.
因为 $(a + m)^2 \geq 1^2 = 1$，所以 $x^2 + xy + y^2 + 2014 \geq 1991$。又因为 $(a + m)^2 < (a + m + 1)^2$，所以 $x^2 + xy + y^2 + 2014 < (a + m + 1)^2 + 1990$。所以 $x^2 + xy + y^2 + 2014$ 的取值范围是 $[1991, (a + m + 1)^2 + 1990)$。