Question

高等数学 泰勒展开多少项怎么判断？比如这两道题

比如图中两题，它们分别怎么确定要展开几项的呢？

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Answer 1

计算极限时，使用泰勒展开式代入是为了提高该式子的阶数，从而代入后整个式子不为零，最后能够更加精确地得到极限值。

如右图中，已知sinx的泰勒展开式是sinx=x-1/6x^3+1/240x^5+......
当sinx+x时，sinx只取到x时可得2x。如果，再取一个后会发现与x相加后为（2x-1/6x^3），而（2x-1/6x^3）再与右边的式子相乘的结果是-1/3x^4+1/36x^6，由此可知，1/36x^6包含在o(x^4)这个无穷小的范围之内。所以，就不用取到第二个了，省略即可。
而sinx-x时，sinx如果只取x的话，与另一个x相减后为零，结果就为0了。而如果再取多一项，得到的结果就是-1/6x^3，比零来的精确，所以此时去两项更准确。
左图，同理可得，再多取一项对于结果来说都可以并入后面的无穷小中，不会影响得数。

追问

想请教下为什么“1/36x^6包含在o(x^4)这个无穷小的范围之内”？

追答

因为o(x^4)的意思是包含x^4及以上阶数的所有无穷小，如x^5、x^6、x^7等等。而1/36x^6的意思是x^6的1/36，1/36不影响无穷小阶数，所以此式子的无穷小量是6次，自然包含在o(x^4)以内。

追问

多谢！

Answer 2

一般使用泰勒展开公式去计算极限的时候，要确定展开到多少项，是要根据没有展开的其他项进行确定的
因为如果你展开少了，那么他将不能和其他项进行配合，约掉相同的无穷小量
如果你展开多了，影响倒是不大，因为相对无穷，小量更小的话，那就可以判断是趋向于零或者是趋向于无穷
就拿你第二道题来说，因为它分母是x的三次方，所以你使用泰勒公式展开的时候，就至少要把x的三次方那一项展开出来，后面写成三次方的无穷小这种形式