Question

关于一道高等数学中泰勒级数展开问题

题目是：f(x)=lnx X0=2 在X0处展开成泰勒级数

答案是：ln2+ ∑（-1）^n-1 *（1/n*2^n）*（x-x0）^n

但我做出来与答案有个不同处是n！*2^n

不知道我哪里算错了。。。请求下各位高手。。。

Answer 1

题目要求是直接展开吗？如果不是的话，用间接展开：
f'(x)＝1/x＝1/[2+(x-2)]＝1/2×1/[1+(x-2)/2]＝1/2×∑[(-1)^n×(x-2)^n/2^n]，n从0到∞
然后两边从2到x积分，则f(x)＝f(2)＋∫(2到x）f ' (t)dt＝f(2)＋∫(2到x）1/2×∑[(-1)^n×(t-2)^n/2^n]dt＝ln2＋1/2×∑[(-1)^n×(x-2)^(n+1)/(n+1)×1/2^n]，n从0到∞（可以化为n从1到∞）
＝ln2＋1/2×∑[(-1)^(n-1)×(x-2)^n/n×1/2^(n-1)]，n从1到∞
＝ln2＋∑[(-1)^(n-1)×(x-2)^n/(n×2^n)]，n从1到∞

追问

不好意思。。是直接展开的。。间接展开还木有教到。。。可否用直接展开的方式来解答下，谢谢了~

追答

求高阶导数，f'(x)＝1/x，f''(x)＝-1/x^2，.f'''(x)＝2/x^3..，由此得到n阶导数是(-1)^(n-1)×(n-1)!/x^n，所以幂级数展开式中的系数a0＝f(0)＝ln2，(x-2)^n项的系数an＝(-1)^(n-1)×(n-1)!/2^n ÷ n! ＝(-1)^(n-1)/(2^n×n)，n从1到∞
所以f(x)＝ln2＋∑[(-1)^(n-1)×(x-2)^n/(n×2^n)]，n从1到∞

Answer 2

虽然这个式子看不太清 但是我估计楼主ln x求N阶导求错了

追问

那我把∑里面的式子用文字来表述下：-1的n-1次方 * 1除以（n*2的n次方） * （x-x0）的n次方。。。这样比较明确吧。。三段式子的。。可惜手机拍下来的不清晰。。不好意思啦

追答

就是分母不一样吗？
那肯定是求高阶导求错了。。。