Question

已知：正方形ABCD中，∠MAN=45°，∠MAN绕点A顺时针旋

、已知：正方形ABCD中，∠MAN=45°，∠MAN绕点A顺时针旋转，它的两边分别交CB，DC（或它们的延长线）于点M，N．当∠MAN绕点A旋转到BM=DN时（如图1），易证BM+DN=MN．（1）当∠MAN绕点A旋转到BM≠DN时（如图2），线段BM，DN和MN之间有怎样的数量关系？写出猜想，并加以证明．（2）当∠MAN绕点A旋转到如图3的位置时，线段BM，DN和MN之间又有怎样的数量关系？并说明理由．

Answer 1

（1）BM+DN=MN

证明的要点：

将△ABM以A为圆心逆时针旋转90°，到AB边与AD边重合，设B点新位置为B'，

因为旋转90°，故B'、D、N共线，AM=AB'，BM=B'D。

由AM=AB'、AN=AN、∠MAN=∠B'AN=45°，得△MAN≌△B'AN，有MN=B'N

故MN=B'D+DN，得证BM+DN=MN

（2）DN-BM=MN

证明方法一样，将△ABM以A为圆心逆时针旋转90°，到AB边与AD边重合，设B点新位置为B'，

然后也是证△MAN≌△B'AN，MN=B'N=DN-DB'=DN-BM