Question

已知xyz=-6,x+y+z=2,x^2+y^2+z^2=14，求1/（xy+2z）+1/（xz+2y）+1/（yz+2x）=________。

求了，今天期末考试考了数学，就这道题不会啊~~跪求啊！！

Answer 1

1、最简单也是最笨的方法就是直接解x/y/z
由题：x+y=2-z （x+y）²=（2-z）²
x²+y²=14-z²
化简得:2z^3-4z^2-10z+12=0
观察这个式子，很简单的看出来z可以等于1，但是三次方程有三个解，其他两个解待定。
观察已知的三个方程xyz=-6,x+y+z=2,x^2+y^2+z^2=14，有着高度的对称性，所以上面的三次方程的三个解就是x/y/x的值，当然有6种可能性。
令z=1，带入已知三式，求的x=3 y=-2，解得1/（xy+2z）+1/（xz+2y）+1/（yz+2x）=-1
注：这个方法有点投机取巧，比较考验人的观察能力啦

2、原理:将代数式 1/(xy+2z)+1/(yz+2x)+1/(zx+2y) 变换为用xyz ,x+y+z,x^2+y^2+z^2表示的式子
(x+y+z)^2=x^2+y^2+z^2+2xy+2xz+2yz=4
xy+xz+yz=(4-14)/2=-5
xy+2z=xy+(x+y+z)z=xy+xz+yz+z^2=-5+z^2
又xy=-6/z xy+2z=-6/z+2z
1/(xy+2z)=1/(-5+z^2) =1/(-6z+2z）＝z/(2z^2-6)
所以z(-5+z^2)=2z^2-6 z^3 -2z^2-5z+6=0
z^3-z^2 -z^2-5z+6=z^2(z-1) -(z^2+5z-6)
=z^2(z-1)-(z+6)(z-1) =(z-1)(z^2-z-6)=0
得z1=1 z2=-1 z3=6
将z1=1代入xyz=-6得 xy=-6 代入x+y+z=2 得 x+y=1 x=3 y=-2
x=3 y=-2 z=1 代入x^2+y^2+z^2= 9+4+1=14符合条件
所以将x=3 y=-2 z=1代入原式=-1/4+1/4 -1=-1

Answer 2

如果是填空题：
xyz=-6,x+y+z=2,大概可以推测三个数是1,-2,3;
1²+(-2)²+3²=1+4+9=14;
所以1/（xy+2z）+1/（xz+2y）+1/（yz+2x）
=1/（-2+6）+1/（3-4）+1/（-6+2）
=1/4-1-1/4
=-1;

若要求有过程：
x+y+z=2两边平方：
x²+y²+z²+2xy+2xz+2yz=4
2xy+2xz+2yz=4-14
xy+xz+yz=-5

上式两边同乘x：
x²y+x²z+xyz=-5x
x²y+x²z-6=-5x
x²y+x²z=6-5x
同理：
xy²+y²z=6-5y
xz²+yz²=6-5z
上述三式相加：
x²y+x²z+xy²+y²z+xz²+yz²=18-5(x+y+z)=18-5*(2)=8

xy+xz+yz=-5两边平方：
x²y²+x²z²+y²z²+2x²yz+2xy²z+2xyz²=25
x²y²+x²z²+y²z²+2(xyz)(x+y+z)=25
x²y²+x²z²+y²z²+2(-6)(2)=25
x²y²+x²z²+y²z²=49

1/（xy+2z）+1/（xz+2y）+1/（yz+2x）
=[(xz+2y)(yz+2x)+(xy+2z)(yz+2x)+(xy+2z)(xz+2y)]/[(xy+2z)(xz+2y)(yz+2x)]
=[xyz²+2x²z+2y²z+4xy+xy²z+2x²y+2yz²+4xz+x²yz+2xy²+2xz²+4yz]/[(x²yz+2xy²+2xz²+4yz)(yz+2x)]
=[xyz(z+y+x)+4(xy+xz+yz)+2(x²z+y²z+x²y+yz²+xy²+xz²)]/[x²y²z²+2x³yz+2xy³z+4x²y²+2xyz³+4x²z²+4y²z²+8xyz]
=[(-6)*(2)+4*(-5)+2*(8)]/[xyz(xyz+2x²+2y²+2z²+8)+4(x²y²+x²z²+y²z²)]
=-16/[-6*(-6+2*14+8)+4*(49)]
=-16/16
=-1

Answer 3

我承认我不会做，但看3个数乘起来等于-6，第一时间反应的就是1,2,3（中间有1个或3个负数）
可能性不大多，而且加起来等于2，试了两三次发现是1，-2,3（平方和也满足）
代入得-1（发现没，不用知道xyz与1，-2,3谁对应谁）

这种题数都不会太怪，还是蒙的比较快

Answer 4

如果是填空题，x=-2，y=3，z=1，就可以得到答案了。
就是把x和y统统用z表示，然后根据三个式子，算出z值，在分别推出x与y值。
这种题应该不会是大题，填空题的话，技巧很重要！