Question

h(x)=alnx+2x-(a+3)x+1/2x^2<=0在x属于[1,e]上有解求a的范围（想问下是求h(x)最大值<=0,还是最小值？为啥

只用我提供的这种方法，答案是a>=-1/2

Answer 1

h(x)=alnx+2x-(a+3)x+1/2x^2<=0
在x属于[1,e]上有解
即是存在x∈[1,e]使得h(x)≤0成立
只需h(x)min≤0即可
h'(x)=a/x+2-(a+3)+x
=[x²-(a+1)x+a]/x
=(x-a)(x-1)/x
当a≤1时，在[1,e]上f'(x)≥0,f(x)递增
∴f(x)min=f(1)=-a-1/2
由-a-1/2≤0得a≥-1/2
∴-1/2≤a≤1

当1<a<e时，lna<1
1≤x<a,f'(x)<0,f(x)递减
a<x≤e,f'(x)>0,f(x)递增
f(x)min=f(a)=alna+2a-(a+3)a+1/2a²
=alna-1/2a²-a
=a(lna-1/2a-1)<0
∴ 1<a<e符合题意

当a≥e时，f'(x)<0恒成立f(x)递减，
f(x)min=f(e)=a-(a+3)e+1/2e²
=a-3e-ae+1/2e²
=(1-e)a+1/2e²-3e
g(a)=(1-e)a+1/2e²-3e
∵1-e<0∴g(a)是关于a的减函数
∴g(a)≤g(e)=-1/2e²-2e<0
a≥e时，符合题意

综上a≥-1/2