Question

数学题，急急急!!!在线等

将两个不同的自然数中较大的数换成它们的差，称为一次操作，如此继续下去，直到这两个数相同为止。如对20和26进行这样的操作，过程如下：（20,26）→（20,6）→（14,6）→（8,6）→（2,6）→（2,4）→（2,2）。（1）在45和80进行一次操作后，请写出最后相同的数。（2）若对两个四位数进行一次操作，最后得到相同的数是17。求这两个四位数的和的最大值。

Answer 1

解：（1）（45，80）→（45，35）→（10，35）→（10，25）→（10，15）→（10，5）→（5，5）．

（2）9999÷17=588…3，
9999-3=9996，
9996-17=9979，
9996+9979=19975．
答：两个四位数的和的最大值是19975．

解析：对（20，6）和（45，80）进行质因数分解，发现最后的相同数是两对数中的各自的最大公约数。
既然最后的结果是17，那么这两个四位数的最大公约数是就是17，那么四位数中17的倍数最小为17*59，最大为17*588，设这两个数分别为17x和17y，（59<x<y<588)，那么为了让17成为两者的最大公约数，那么x和y的最大公约数只能是1。又因为要17x+17y的值最大，那么x和y在规定值内越大越好。
那么y取值588，x取值587，因为587是质数，所以588和587的最大公约数是1，
所以最大值为17x+17y=17*（588+587）=19975

Answer 2

(1)5
(2)逆推一下 17,17——34,17——34+17,17或34+17,34——34+17+17,17或34+34+17,34或
34+17,34+17+17或34+17,34+34+17
显然第4个大一些，得出和最大的规律是（x>y) x,y——x,x+y

17=x

1 x+x 2x

2 2x+x 3x
3 2x+3x 5x

4 5x+3x 8x

成那个斐波那契数列
17*588=9996
在588以下的斐波那契数列中的数最大是377，233
结果：17*（377+233）=10370

奇怪……

Answer 3

（1）（45，,80）→（45,35）→（10,35）→（10,25）→（10,15）→（10,5）→（5,5）
（2）由题意可知，任意两个不同的自然数经过一次操作后，最终得到的相同数，一定是这两个不同自然数的公因数。
又知道在所有的公因数为17的四位数中，只有最大的那个和与它差为17的另一个四位数之和才是最大的。记能被17除尽的最大四位数为x，那么与它和最大的另一个能被17除尽的四位数为x-17.
因为9999÷17=588…3，所以x=17×588=9996（还等于9999-3），x-17=9979
所以，最两个四位数进行一次操作，最后得到相同的数是17。求这两个四位数的和的最大值为x+x-17=19975