Question

尺规作图正七边形

为什么不能做出来？怎么证明无法做？

Answer 1

尺规作图作出正多边形的条件是：正多边形的边数必须是2的非负整数次方和不同的费马素数的积。费马数：(2^(2^n)+1)。前五个费马数是：3、5、17、257、65537，这五个都是素数。例如正1632边形是可以作出的，因为1632=3*17*2^5。
从第六个开始就再没发现素数了：第六个=641×6700417、第七个=274177 × 67280421310721......于是，由于人们发现费马素数才仅有5个而已，所以目前人类能作出的奇数正多边形形是有限的，可以作出的最大的奇数边正多边形是3*5*7*17*257*65537=30064771065边形。
上面结论是高斯得出的，证明过程挺复杂，这里写不下。给你点提示吧：运用虚数知识，我们知道n次方程就有n个复根，尺规作图就是要找到方程的复根代数表达式，如果表达式都是以加、减、乘、除以及开平方（仅仅开平方而已！）这些基本运算可以表达出来的式子，那么我们就很容易找到其尺规作图法。正七边形对应的7次方程，复根无法展开成以加、减、乘、除以及开平方形式表达的式子，所以正七边形无法尺规作图。而17次方程可以展开成以加、减、乘、除以及开平方形式表达的式子，所以尺规作图是可能的。高斯发现，所有符合这些以加、减、乘、除以及开平方形式表达的式子的方程的次数，都是费马素数，所以才有开头那个结论。

Answer 2

先用圆规画一个圆，360º不能被7整除，圆也就不能被七等分，所以画不出来

追问

360也不能整除17，但是17边形做出来了