Question

如何用尺规作图作正17边形

Answer 1

网上应该有很多方法的，我这里给你一个我从别人那学来的：

1、以O为圆心作一个圆，在圆周上任取一点P1作为正十七边形的第一个顶点；

2、画出直径OP1，并作另一条半径OB垂直于OP1；

3、把OB四等分，得到J点；

4、连接JP1，作角OJP1的四等分线JE；

5、作一个45度角EJF；

6、以FP1为直径作半圆，交OB于K点；

7、以E为圆心，EK为半径作半圆，交直径OP1于N4点；

8、从N4点作OP1的垂线，这条垂线跟圆的交点就是正十七边形的第四个顶点P4；

9、义P1P4为半径 P1为圆心作圆可以找到P15，然后再以P4为圆心作圆可以找到P7，依次进行下去可以把17个点全部找到，连接它们就可以得到正十七边形了。

追问

怎样作4等分线

追答

先作等分线，得到二等分角，然后再作一次二等分角的等分线啊。

Answer 2

正17边形很好做啊 正17边形的作法 作法: 1.作一个半径为1的圆O,在圆O中作互相垂直的两条直径A1B1,C1D1 2.在A1B1找一点B,使OB=1/4 3.以B为圆心,BD1为半径画弧,交A1B1线于C和C' 4.分别以C,C'为圆心,以CD1,C'D1为半径画弧,交A1B1线于D和D' 5.以A1D为直径作圆,交OD1于F点 6.以F为圆心,OD1的一半为半径画弧交A1B1线于K点 7.以K为圆心,KF为半径画半圆,交A1B1于H和H' 8.过OH的中点L作A1B1的垂线,交圆O于A2和A17,则A1A2为正17边形的边长,以A1A2的长度 在圆O上依次截取,可得正17边形 1796年,德国19岁的高斯发现正17边形的作法 1832年,数学家黎西罗发现正257边形的作法 数学家盖尔美斯用十年时间发现了正65537边形的作法 步骤一： 给一圆O，作两垂直的直径OA、OB， 在OB上作C点使OC＝1/4OB，作D点使∠OCD＝1/4∠OCA ，作AO延长线上E点使得∠DCE＝45度 步骤二： 作AE中点M，并以M为圆心作一圆过A点， 此圆交OB于F点，再以D为圆心，作一圆 ，过F点，此圆交直线OA于G4和G6两点。 步骤三： 过G4作OA垂直线交圆O于P4， 过G6作OA垂直线交圆O于P6， 则以圆O为基准圆，A为正十七边形之第一顶点，P4为第四顶点，P6为第六顶点。 以1/2弧P4P6为半径，即可在此圆上截出正十七边形的所有顶点。 备注一 一个正质数多边形可以用标尺作图的充分和必要条件是，该多边形的边数必定是一个费马质数。换句话说，只有正三边形、正五边形、正十七边形、正257边形和正63357边形可以用尺规作出来，其它的正质数多边形就不可以了。（除非我们再发现另一个费马质数。） 备注二 黎西罗给出了正257边形的尺规作法，写满了整整80页纸。盖尔梅斯给出了正63357边形的尺规作法，此手稿整整装满了一只手提箱，现存于德国哥廷根大学。这是有史以来最繁琐的尺规作图。 备注三 正十七边形的尺规作图存在之证明: 设正17边形中心角为a,则17a=360度,即16a=360度-a 故sin16a=-sina,而 sin16a=2sin8acos8a=22sin4acos4acos8a=2 4 sinacosacos2acos4acos8a 因sina不等于0,两边除之有: 16cosacos2acos4acos8a=-1 又由2cosacos2a=cosa+cos3a等,有 2(cosa+cos2a+…+cos8a)=-1 注意到 cos15a=cos2a,cos12a=cos5a,令 x=cosa+cos2a+cos4a+cos8a y=cos3a+cos5a+cos6a+cos7a 有: x+y=-1/2 又xy=(cosa+cos2a+cos4a+cos8a)(cos3a+cos5a+cos6a+cos7a) =1/2(cos2a+cos4a+cos4a+cos6a+…+cosa+cos15a) 经计算知xy=-1 又有 x=(-1+根号17)/4,y=(-1-根号17)/4 其次再设:x1=cosa+cos4a,x2=cos2a+cos8a y1=cos3a+cos5a,y2=cos6a+cos7a 故有x1+x2=(-1+根号17)/4 y1+y2=(-1-根号17)/4 解之可有:(大家自己解解吧~~~~) 最后,由cosa+cos4a=x1,cosacos4a=(y1)/2 可求cosa之表达式,它是数的加减乘除平方根的组合, 故正17边形可用尺规作出