Question

如图，在菱形ABCD中，点E，F分别为边AD，CD上的动点（都与菱形的顶点不重合），链接EF，BE，BF

（1）若角A=60度，且AE+CF=AB，判断三角形BEF的形状
（2）在（1）的条件下，设菱形的边长为a，求三角形BEF面积的最小值

Answer 1

（1）连BD。由∠A=60°，四边形ABCD是菱形，

AB=AD，∴△ABD是等边三角形，

即BD=AB.

由AE+CF=AB，

DF+CF=AB，

∴AE=DF。∠A=∠BDF=60°，

∴△ABE≌△DBF（SAS）

∴BE=BF。∵∠ABE=∠DBF

∴∠ABD=∠EBF=60°

△BEF是等边三角形。

（2）要使得△BEF面积最小，只要他的边长最小即可。

当E在AD中点，F在CD中点时，线段BE=（√3/2）a最短，

△BEF面积Smin=（√3/2）a×（√3/2）（√3/2）a÷2

=（3√3/16）a²。

追问

线段BE=（√3/2），为什么

追答

你想，BE在三角形ABD内部，BE最短时就是他的高。
所以AD=a，BE=（√3/2）a。

追问

△BEF面积Smin=（√3/2）a×（√3/2）（√3/2）a÷2
=（3√3/16）a²。
面积为什么是这样？

追答

谢谢。