Question

已知函数f(x)=(1+x)lnx,当x属于（0,1),g(x)=[1/a(1-x)]*f(x)<-2恒成立，求a的取值范围。

数学大师解答下吧，希望有过程，有学生把a移到另一边，求出函数单调性，但区间是（0,1）没法求最值。
1/a>+无穷？

Answer 1

a∈（0,1],解析见图。

如有不理解之处，请追问。

Answer 2

x∈（0,1）时f(x)=(1+x)lnx<0,
由g(x)=(1/a)(1-x)f(x)<-2 ？得
1/a>-2/[(1-x^)lnx],
设h(x)=(1-x^)lnx,x∈(0,1),则
h'(x)=-2xlnx+(1-x^)/x,
h''(x)=-2(lnx+1)-1/x^-1,
h'''(x)=-2/x+2/x^3=2(1-x^)/x^3>0,
∴h''(x)↑，h''(1)=-4<0,
∴h''(x)<0,h'(x)↓，h'(1)=0,
∴h'(x)>0,h(x)↑，h(1-)=0-,
∴1/a>+∞？