Question

X与Y独立,且P{X=±1}=P{Y=±1}=1/2,Z=XY,证明X,Y,Z两两独立,但不相互？

Answer 1

根据题意，X和Y独立，即P{X}=P{X|Y}=P{X|Z}；同样，P{Y}=P{Y|X}=P{Y|Z}；而Z=XY，则有：
P{X=1,Y=1,Z=1}=P{X=1}P{Y=1}P{Z=1|X=1,Y=1}=1/8
P{X=1,Y=-1,Z=-1}=P{X=1}P{Y=-1}P{Z=-1|X=1,Y=-1}=1/8
P{X=-1,Y=1,Z=-1}=P{X=-1}P{Y=1}P{Z=-1|X=-1,Y=1}=1/8
P{X=-1,Y=-1,Z=1}=P{X=-1}P{Y=-1}P{Z=1|X=-1,Y=-1}=1/8
那么，我们可以得到：
P{X=1,Y=1}=P{X=1}P{Y=1}=1/4
P{X=1,Z=1}=P{X=1}P{Z=1|X=1}=1/4
P{Y=1,Z=1}=P{Y=1}P{Z=1|Y=1}=1/4
同理可得：
P{X=-1,Y=-1}=P{X=-1}P{Y=-1}=1/4
P{X=-1,Z=1}=P{X=-1}P{Z=1|X=-1}=1/4
P{Y=-1,Z=1}=P{Y=-1}P{Z=1|Y=-1}=1/4
所以，X、Y、Z两两独立。
但是，如果我们考虑P{X=1,Y=1,Z=1}和P{X=1,Y=-1,Z=-1}的情况，可以得到：
P{X=1,Y=1,Z=1} = 1/8
P{X=1}P{Y=1}P{Z=1|X=1,Y=1} = 1/4 * 1/4 * 1/2 = 1/32
P{X=1,Y=-1,Z=-1} = 1/8
P{X=1}P{Y=-1}P{Z=-1|X=1,Y=-1} = 1/4 * 1/4 * 1/2 = 1/32
可以看到，这两个概率值是不相等的，因此X、Y、Z并不相互独立。