Question

在平面直角坐标系xOy中，曲线y=x²－4x+3与两坐标轴的交点都在圆C上。

（1）求圆C的方程；
（2）是否存在实数a,使圆C与直线x－y+a=0交于A、B两点，且满足∠AOB=90°。若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由。

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Answer 1

1）曲线y=x^2-4x +3与两坐标轴的交点（1,0），（3,0），（0,3）都在圆C上，
设圆C的方程为(x-2)^+(y-b)^=r^,则
1+b^=r^,
4+(3-b)^=r^,
相减得6b-12=0,b=2,
∴r^=5,
∴圆C的方程是(x-2)^+(y-2)^=5.①
(2)把y=x+a,②代入①，2x^+(2a-8)x+a^-4a-1=0,
设A(x1,y1),B(x2,y2),则
x1+x2=4-a,x1x2=(a^-4a-1)/2,
由②，y1y2=(x1+a)(x2+a)=x1x2+a(x1+x2)+a^,
∠AOB=90°,
<==>0=x1x2+y1y2=a^-4a-1+a(4-a)+a^=a^-1,
<==>a^=1,a=土1.