Question

已知,如图,在梯形ABCD中,AD//BC,M,N分别是AD,BC的中点，且MN⊥BC。求证：梯形ABCD是等腰梯形

Answer 1

证明：过点M作ME∥AB交BC于E，MF∥CD交BC于F
∵AD∥BC，ME∥AB
∴平行四边形ABEM
∴ME＝AB，BE＝AM
∵AD∥BC，MF∥CD
∴MF＝CD，CF＝DM
∵M、N分别是AD、BC的中点
∴AM＝DM、BN＝CN
∴BE＝CF
∵EN＝BN-BE，FN＝CN-CF
∴EN＝FN
∵MN⊥BC，MN＝MN
∴△MNE≌△MNF （ASA）
∴ME＝MF
∴AB＝CD
∴等腰梯形ABCD

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Answer 2

连接MB，MC
∵BN=NC,MN⊥BC
∴MB=MC，∠BMN=∠CMN
∵AD//BC，MN⊥BC
∴∠AMN=∠DMN
∴∠AMB=∠DMC
在△AMB和△DMC中
{AM=MD
∠AMB=∠DMC
MB=MC
∴△AMB≌△DMC
∴∠A=∠D
∴梯形ABCD是等腰梯形