Question

如图，已知∠ABC=90°，△ABE是等边三角形，点P为射线BC上任意一点（点P与点B不重点F．

如图，已知∠ABC=90°，△ABE是等边三角形，点P为射线BC上任意一点（点P与点B不重合），连接AP，将线段AP绕点A逆时针旋转60°得到线段AQ，连接QE并延长交射线BC于点F．
（1）如图，当BP=BA时，∠EBF=30
30
°，猜想∠QFC=60
60
°；
（2）如图，当点P为射线BC上任意一点时，猜想∠QFC的度数，并加以证明．

Answer 1

在图1中，过点F作FG⊥BE于点G．
∵△ABE是等边三角形，
∴BE=AB=2√3．
由（1）得∠EBF=30°．
在Rt△BGF中，BG=BE/2 =√3 ，
∴BF= BE/cos30=2．
∴EF=2．
∵△ABP≌△AEQ．
∴QE=BP=x，
∴QF=QE+EF=x+2．
过点Q作QH⊥BC，垂足为H．
在Rt△QHF中，y=QH=sin60°×QF= √3/2（x+2）．（x＞0）
即y关于x的函数关系式是：y=√3/2 x+ √3

Answer 2

∠QFC=60°．
不妨设BP＞√3 AB，如图1所示．
∵∠BAP=∠BAE+∠EAP=60°+∠EAP，
∠EAQ=∠QAP+∠EAP=60°+∠EAP，
∴∠BAP=∠EAQ．
在△ABP和△AEQ中
AB=AE，∠BAP=∠EAQ，AP=AQ，
∴△ABP≌△AEQ．（SAS）
∴∠AEQ=∠ABP=90°．
∴∠BEF=180°-∠AEQ-∠AEB=180°-90°-60°=30°．
∴∠QFC=∠EBF+∠BEF=30°+30°=60°．

Answer 3

你不是都答出来了？？