Question

B正方形ABCD中,E为AB边上的一点,过D作DF垂直于DE,与BC延长交于F,连接EF,与CD交于点G，与对角线BD交于H，

若角ADE等于2倍角BFE，求FH等于HE加HD

Answer 1

取FG=HE，连接DG。

AD=DC,  ∠ADE=∠ADC-∠EDC=90-∠EDC   ∠CDF=∠EDF-∠EDC=90-∠EDC

∠ADE=∠CDF   RT△DAE≌RT△DCF

∠ADE=∠CDF   DE=DF  ∠DFE=∠DEF=45

∠BFE+∠DFE+∠CDF=90   ∠CDF=∠ADE=2∠BFE

∠BFE+2∠BFE+45=90  ∠BFE=15  ∠ADE=2*15=30

∠EDB=45-30=15  

DE=DF ∠DEH=∠DFG=45  EH=FH 

△DEH≌△DFG   ∠FDG=∠EDH=15  DH=DG

∠HDG=90-15-15=60    △DHG为等边三角形。

HF=GF+HG   GF=HE HG=HD

HF=HE+HD 

Answer 2

在FH上截取FE′＝HE。
∵∠BDE＝∠BFE｛直径上的圆周角是直角，DEBF四点共圆，同弧上的圆周角相等｝
＝⅓45º｛已知∠ADE＝2∠BDE｝＝15º＝∠FDE′｛直径上等分线段所对圆周角相等｝，
故∠HDE′＝90º－15º－15º＝60º；
∵∠DHG＝＝∠HBF＋∠BFE｛外角等于不相邻内角和｝＝45º＋15º＝60º，故∠HE′D＝60º；
∴ HE′＝HD｛等角对等边｝，两端加FE′得：HF＝HD＋HE。