求一道数学题

如图,已知△ABC中,∠A=60°,BE、CD分别平分∠ABC、∠ACB,P为BE、CD的交点。①:证明:BD+CE=BC∵∠BPC=90°+1/2∠A=120°∴∠BP... 如图,已知△ABC中,∠A=60°,BE、CD分别平分∠ABC、∠ACB,P为BE、CD的交点。

①:证明:BD+CE=BC
∵∠BPC=90°+1/2∠A=120°
∴∠BPD=∠BPF=∠CPF=∠CPE=60°
又∵∠1=∠2,CP=CP
∴△CPF全等于△CPE
∴CF=CE
故BC=BF+CF=BD+CE
②拓展 由上及角平分线性质可得:
AD+AE=根号3倍的AP
请求证第二问
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zhaoxye
2013-06-29 · TA获得超过1351个赞
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连接AP则AP平分∠BAC
∠DPE=360°-60°-60°-120°=120°
设∠APD=a,则:∠APE=120°-a ,
在△ADP中 ∠ADC=180°-30°-a=150°-a
AD/sin(a)=AP/sin(150°-a)<-----正弦定理
AD=APsin(a)/sin(150°-a)=APsin(a)/sin(30°+a)
同理在△AEP中可得:
AE=APsin(120°-a)/sin(30°+a)=APsin(60°+a)/sin(30°+a)
AD+AE=APsin(60°+a)/sin(30°+a)+APsin(120°-a)/sin(30°+a)
=AP((sin(a)+sin(60°+a))/sin(30°+a)
=AP(2sin(a+30°)con(30°))/sin(30°+a)
=AP√3
_夜之太阳_
2013-06-29 · TA获得超过971个赞
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P是△ABC内心,过P作PM、PN、PL分别垂直于AB、AC、BC
易证AM=AN,CN=CL,BM=BL
要证AD+AE=√3AP等价于AB+AC-BC=2AP*cos30°=AM+AN
等价于AB+AC-AM-AN=BC等价于BM+CN=BL+CL
该式显然成立,得证。
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