Question

设f（x）在[0,1]上连续，且f（1）>1，证明存在ξ属于(0,1)，得使f(ξ)=1/ξ？

设f（x）在[0,1]上连续，且f（1）>1，证明存在ξ属于(0,1)，得使f(ξ)=1/ξ

Answer 1

根据题意，我们要证明存在一个介于0和1之间的数ξ，使得f(ξ) = 1/ξ。
考虑函数g(x) = f(x) - 1/x，我们要证明存在ξ属于(0,1)，使得g(ξ) = 0。
由于f(x)在[0,1]上连续，且f(1) > 1，所以g(1) = f(1) - 1/1 = f(1) - 1 > 0。
另一方面，g(x)在[0,1]上连续，那么根据连续函数的性质，g(x)在[0,1]上必然取到最小值。
假设最小值点ξ不属于(0,1)，那么必然有ξ=0或ξ=1。
若ξ=0，则g(0) = f(0) - 1/0不存在，与题意矛盾。
若ξ=1，则已经证明过g(1) > 0，与最小值性质矛盾。
所以，不存在ξ=0或ξ=1，也就是说存在ξ属于(0,1)，使得g(ξ) = f(ξ) - 1/ξ = 0。
因此，存在ξ属于(0,1)，使得f(ξ) = 1/ξ成立。

Answer 2