Question

已知直线y＝x-1和椭圆x^2/m+y^2/3相交于A,B两点,若O为坐标原点，且∠AOB＝90°

已知直线y＝x-1和椭圆x^2/m+y^2/3相交于A,B两点,若O为坐标原点，且∠AOB＝90°，求m的值

Answer 1

椭圆方程：x^2/m+y^2/3 = 1
3x^2 + my^2 - 3m = 0
把 y = x - 1 代入，
(m+3)x^2 - 2mx - 2m = 0
在 m>0 (椭圆方程，必有 m>0) 时，必然有两个解 x1, x2
且 x1+x2 = 2m/(m+3), x1x2 = -2m/(m+3)

AO 垂直于 BO
y1/x1 * y2/x2 = -1
(x1-1)/x1 * (x2-2)/x2 = -1
2x1x2 = x1+x2 - 1
-4m/(m+3) = 2m/(m+3) - 1
m = 3/5

追问

这里没懂

追答

(x1, y1), (x2, y2) 还都是直线 y = x - 1 上的点：
y1 = x1 - 1
y2 = x2 - 1
代入 y1y2/x1x2 = -1
(x1-1)(x2-1)/x1x2 = -1
x1x2 - (x1+x2) + 1 = - x1x2
2x1x2 = x1+x2 - 1

Answer 2

做这题之前先看一下文献.

追答

利用性质三，很容易推出

这条直线恰恰好|k|=1，不然就要分类讨论.