Question

解不定方程

求不定方程的解：（1）17x-180y=5（2）13x+170y=1（3）6x+21y=9（请用辗转相除法辗转两次）求专家帮忙！！

Answer 1

(1) 17x-180y=5, 按ax+by+c来看, 系数a和b相差大, 不易直接找到一组整数解x0和y0. 

采用逐步缩小系数的方法: 改写17x-180y=5为x=(170y+10y-12+17)/17=10y+(10y-12)/17+1, 令(10y-12)/17=m, 因为x, y是整数, 所以10y, 1, 和m都是整数. 整理一下(10y-12)/17=m得10y-17m=12, 系数10和12都非常接近, 也是一个不定方程, 按常规解法, 得一组正整数解y0=8, m0=4, x0=85.

另外一种理解方法是, 改写17x-180y=5为x=(5+10y)/17+10y, 要使x为整数, 5+10y必须是17的倍数, 这样取y=8时, x=85, 即得一组整数解y0=8, x0=85.

按整数解的一般表达式的定理,得x=85+180t,y=8+17t,t为整数.

同理(2) x=-13-170t, y=1+13t, t为整数. (3) x=-9-21t, y=3+6t, t为整数.

如果用辗转相除法, 我们先要记住, 目标是要得到ap+bq=1的形式, 这样我们可以进一步得到一组整数解x0=cp和y0=cq. 结合本题, 我们的目标是17p+180q=1, 然后我们要用辗转相除法找到s和t.辗转相除就是用上一次除法a÷b=q…r (其中a是被除数Dividend, b是除数Divisor, q是商Quotient, r是余数Remainder)得到除数b的余数r为下一次的被除数a和除数b, 一直到r=1结束

结合本题, 虽然a=17比b=180小, 但我们从ap+bq=1形式来看, 只要最终是1=ap+bq, 即1用a,b系数表达就可以. 所以我们可以从b÷a开始, 得180÷17=10…10, 17÷10=1…7, 10÷7=1…3, 7÷3=2…1.

现在需要反过来改写成1=17p+180q的形式.

因为7÷3=2…1, 所以1=7-3*(2)

因为3=10-7*(1), 所以1=7-3*(2)=7-(10-7*1)*2=10*(-2)+7*(3)

因为7=17-10*1, 所以1=10*(-2)+7*(3)=10*(-2)+(17-10*1)*(3)=17*(3)+10*(-5)

因为10=180-17*10, 所以1=17*(3)+10*(-5)=1=17*(3)+(180-17*10)*(-5)=17*(53)+180*(-5)

即我们得到形如17p+180q=1的解为1=17*(53)+180*(-5), p=53, q=-5

这样 x0=53*5=265, y0=-5*5=-25

所以辗转相除法, 原方程的整数解为x=265+180t, y=-25+17t, t为整数.

Answer 2

（1）1=7-2X3=7-2X（10-7）=3X7-2X10=3X17-5X10=3X17-（180-10X171）=53X17-5X180令方程17X-180Y=1，（53，5）是方程的解。（53X5，5X5）是上式方程的解。所以17X-180Y=5的通解是：X=265+180T，Y=25+17T。（180=10X17，17=10+7，10=7+3，7=2X3+1，3=3X1）。后两式同法可解。

Answer 3

（1）式+（2）式：30x-10y=6
30x=6+10y 与 6x=9-21y 联立，相除
5=6+10y/9-21y 解得y=39/115 x=36/115

追问

恩.应该是我的题目没有表达清楚吧，对不起疏忽了，这应该是三道题目的.....