Question

已知直线l经过正方形ABCD的顶点A,过点B,D分别作直线l于E，DF⊥l于F.

（1）如图1，求证：BE+DF=EF；
（2）连接BD、BF，如图2,若四边形EBDF的面积为49/2，AB=5，求BF的长.

Answer 1

(1)、证明：

如图，O是BD的中点，连接FO，EO，过O作OG⊥EF。则：

OG是梯形EBDF的中位线。

所以：2OG=BE+DF

由于：BE∥OG∥DF

所以：∠1=∠2，∠4=∠6

而：OG是EF的垂直平分线

所以：∠1=∠4，∠2=∠5

所以：2∠1+2∠4=180°

所以：∠1+∠4=90°

即：△EOF是等腰直角三角形

所以：OG=(1/2)EF

所以：EF=EB+FD

(2)

梯形EBDF的面积为：EF²/2=49/2

所以：EF=7

过B作DF的垂线BH，H是垂足。则：BH=EF=7

由AB=5和勾股定理求得：BD=5√2

所以：根据勾股定理求得DH=1

所以：BE=FH=3

所以：BF=√58