Question

高二数学知识点讲练：椭圆

Answer 1

以下是 考 网为大家整理的《高二数学知识点讲练：椭圆》，希望能为大家的学习带来帮助，不断进步，取得优异的成绩。

第八章圆锥曲线
　　(1)掌握椭圆的定义、标准方程和椭圆的简单几何性质，理解椭圆的参数方程 (2)掌握双曲线的定义、标准方程和双曲线的简单几何性质 (3)掌握抛物线的定义、标准方程和抛物线的简单几何性质 (4)了解圆锥曲线的初步应用
解析几何是联系初等数学与高等数学的纽带，它本身侧重于形象思维、推理运算和数形结合，综合了代数、三角、几何、向量等知识反映在解题上，就是根据曲线的几何特征准确地转换为代数形式，根据方程画出图形，研究几何性质学习时应熟练掌握函数与方程的思想、数形结合的思想、参数的思想、分类与转化的思想等，以达到优化解题的目的
具体来说，有以下三方面：
（1）确定曲线方程，实质是求某几何量的值；含参数系数的曲线方程或变化运动中的圆锥曲线的主要问题是定值、最值、最值范围问题，这些问题的求解都离不开函数、方程、不等式的解题思想方法有时题设设计的非常隐蔽，这就要求认真审题，挖掘题目的隐含条件作为解题突破口
（2）解析几何也可以与数学其他知识相联系，这种综合一般比较直观，在解题时保持思维的灵活性和多面性，能够顺利进行转化，即从一知识转化为另一知识
（3）解析几何与其他学科或实际问题的综合，主要体现在用解析几何知识去解有关知识，具体地说就是通过建立坐标系，建立所研究曲线的方程，并通过方程求解来回答实际问题在这一类问题中“实际量”与“数学量”的转化是易出错的地方，这是因为在坐标系中的量是“数量”，不仅有大小还有符号
题型讲解
例1 如图，O为坐标原点，直线l在x轴和y轴上的截距分别是a和b（a>0，b≠0），且交抛物线y2=2px（p>0）于M（x1，y1），N（x2，y2）两点
（1）写出直线l的截距式方程；
（2）证明：+=；
（3）当a=2p时，求∠MON的大小
分析：易知直线l的方程为+=1，欲证+=，即求的值，为此只需求直线l与抛物线y2=2px交点的纵坐标由根与系数的关系易得y1+y2、y1y2的值，进而证得+= 由·=0易得∠MON=90°亦可由kOM·kON=－1求得∠MON=90°
（1）解：直线l的截距式方程为+=1
（2）证明：由+=1及y2=2px消去x可得by2+2pay－2pab=0
点M、N的纵坐标为y1、y2，
故y1+y2=，y1y2=－2pa
所以+===
（3）解：设直线OM、ON的斜率分别为k1、k2，
则k1=，k2=
当a=2p时，由（2）知，y1y2=－2pa=－4p2，
由y12=2px1，y22=2px2，相乘得（y1y2）2=4p2x1x2，
x1x2===4p2，
因此k1k2===－1
所以OM⊥ON，即∠MON=90°
点评：本题主要考查直线、抛物线等基本知识，考查运用解析几何的方法分析问题和解决问题的能力
例2 已知椭圆C的方程为+=1（a>b>0），双曲线－=1的两条渐近线为l1、l2，过椭圆C的右焦点F作直线l，使l⊥l1，又l与l2交于P点，设l与椭圆C的两个交点由上至下依次为A、B（如图）
（1）当l1与l2夹角为60°，双曲线的焦距为4时，求椭圆C的方程；
（2）当=λ时，求λ的值
分析：（1）求椭圆方程即求a、b的值，由l1与l2的夹角为60°易得=，由双曲线的距离为4易得a2+b2=4，进而可求得a、b
（2）由=λ，欲求λ的值，需求A、P的坐标，而P是l与l1的交点，故需求l的方程将l与l2的方程联立可求得P的坐标，进而可求得点A的坐标将A的坐标代入椭圆方程可求得λ的值
解：（1）∵双曲线的渐近线为y=±x，两渐近线夹角为60°，
又<1，∴∠POx=30°，即=tan30°= ∴a=b
又a2+b2=4， ∴a2=3，b2=1
故椭圆C的方程为+y2=1
（2）由已知l：y=（x－c），与y=x解得P（，），
由=λ得A（，）
将A点坐标代入椭圆方程得
（c2+λa2）2+λ2a4=（1+λ）2a2c2
∴（e2+λ）2+λ2=e2（1+λ）2
∴λ2==－［（2－e2）+］+3≤3－2
∴λ的值为－1
点评：本题考查了椭圆、双曲线的基础知识，及向量、定比分点公式、重要不等式的应用解决本题的难点是通过恒等变形，利用重要不等式解决问题的思想本题是培养学生分析问题和解决问题能力的一道好题
例3 设椭圆中心是坐标原点，长轴在x轴上，离心率e=，已知点P（0，）到这个椭圆上的点的最远距离是，求这个椭圆方程，并求椭圆上到点P的距离等于的点的坐标
分析：设椭圆方程为+=1，由e=知椭圆方程可化为x2+4y2=4b2，然后将距离转化为y的二次函数，二次函数中含有一个参数b，在判定距离有值的过程中，要讨论y=－是否在y的取值范围内，最后求出椭圆方程和P点坐标
解法一：设所求椭圆的直角坐标方程是+=1，其中a＞b＞0待定
由e2===1－（）2
可知===，即a=2b
设椭圆上的点（x，y）到点P的距离为d，
则d2=x2+（y－）2=a2（1－）+y2－3y+
= 4b2－3y2－3y+=－3（y+）2+4b2+3，其中－b≤y≤b
如果b＜，则当y=－b时d2（从而d）有值，
由题设得（）2=（b+）2，
由此得b=－＞，与b＜矛盾
因此必有b≥成立，于是当y=－时d2（从而d）有值，
由题设得（）2=4b2+3，由此可得b=1，a=2
故所求椭圆的直角坐标方程是+y2=1
由y=－及求得的椭圆方程可得，椭圆上的点（－，－），点（，－）到点P的距离都是
解法二：根据题设条件，设椭圆的参数方程是
其中a＞b＞0待定，0≤θ＜2π，
∵e=，∴a=2b
设椭圆上的点（x，y）到点P的距离为d，则
d2=x2+（y－）2=a2cos2θ+（bsinθ－）2=－3b2·（sinθ+）2+4b2+3
如果＞1，即b＜，
则当sinθ=－1时，d2（从而d）有值，
由题设得（）2=（b+） 2，
由此得b=－＞，与b＜矛盾
因此必有≤1成立，于是当sinθ=－时，d2（从而d）有值，
由题设得（）2=4b2+3 由此得b=1，a=2
所以椭圆参数方程为
消去参数得+y2=1，
由sinθ=，cosθ=±知椭圆上的点（－，－），（，－）到P点的距离都是
点评：本题体现了解析几何与函数、三角知识的横向联系，解答中要注意讨论
例4 如图, 矩形ABCD中, , 以AB边所在的直线为x轴, AB的中点为原点建立直角坐标系, P是x轴上方一点, 使PC、PD与线段AB分别交于、两点, 且成等比数列, 求动点P的轨迹方程
解: 显然有,
设,
三点共线, ,
, 又三点共线,
, , ,
, ,
化简得动点P的轨迹方程为
例5 已知两点M(-2,2), N(0,2), 直线l过原点, 且以为方向向量, 设长为的线段AB在直线l上移动, 且B点在A点的右上方, 求直线MA和NB交点P的轨迹方程
解: 由, 直线l过原点, 得
直线l的方程是y=x,设A(t, t), B(t+1, t+1), 直线MA的方程为, 直线NB的方程为,
则直线MA和NB交点P的坐标为
消去参数t, 得: (y+1)2-(x+1)2=8
例6 设双曲线的两个焦点分别是F1和F2, A 、B分别是双曲线两条渐进线上的动点, 且, 求线段AB中点的轨迹方程
分析: 复习双曲线性质, 注意点在直线上使横纵坐标互相转换
解: 设A点在渐进线 上, B点在渐进线 上,
A(x1, y1), B(x2, y2), 线段AB中点 M(x, y),
由=30, 得: ,
又,
代入上式得; , 化简得:
例7 以抛物线y=x2的弦AB为直径的圆经过原点O, 过点O作OM⊥AB, M为垂足, 求点M的轨迹方程
解: 设直线OA方程为, 代入y=x2, 得 A点坐标为,
,
同理可得B(),
直线AB方程为,
即: ①
直线OM方程为②
①②,得: ,
即
小结:
在知识的交汇点处命题，是高考命题的趋势，而解析几何与函数、三角、数列、向量等知识的密切联系，正是高考命题的热点，为此在学习时应抓住以下几点：
1客观题求解时应注意画图，抓住涉及到的一些元素的几何意义，用数形结合法去分析解决
2四点重视：①重视定义在解题中的作用；②重视平面几何知识在解题中的简化功能；③重视根与系数关系在解题中的作用；④重视曲线的几何特征与方程的代数特征的统一
3注意用好以下数学思想、方法：
①方程思想；②函数思想；③对称思想；④参数思想；⑤转化思想；⑥分类思想
除上述几种常用数学思想外，整体思想、数形结合思想、主元分析思想、正难则反思想、构造思想等也是解析几何解题中不可缺少的思想方法在复习中必须给予足够的重视，真正发挥数学解题思想作为联系知识与能力中的作用，从而提高简化计算能力
4求轨迹方程的主要方法有: 直接法、定义法、代入法、参数法
5求出轨迹方程后要注意检验, 以保证方程的解与曲线上的点具有一一对应的关系, 尤其是题中涉及三角形、斜率、参数方程中参数的限制, 往往使方程产生增根
6向量的坐标形式及应用是解析法的重要补充, 应注意把二者有机地结合起来
学生练习
1设abc≠0，“ac>0”是“曲线ax2+by2=c为椭圆”的
A充分不必要条件 B必要不充分条件
C充分必要条件 D既不充分又不必要条件
答案：B解析：ac>0曲线ax2+by2=c为椭圆反之成立
2到两定点A（0，0），B（3，4）距离之和为5的点的轨迹是
A椭圆 BAB所在直线 C线段AB D无轨迹
答案：C
解析：数形结合易知动点的轨迹是线段AB：y=x，其中0≤x≤3
3若点（x，y）在椭圆4x2+y2=4上，则的最小值为
A1 B－1 C－ D以上都不对
答案：C 解析：的几何意义是椭圆上的点与定点（2，0）连线的斜率显然直线与椭圆相切时取得最值，设直线y=k（x－2）代入椭圆方程（4+k2）x2－4k2x+4k2－4=0令Δ=0，k=±∴kmin=－
4以正方形ABCD的相对顶点A、C为焦点的椭圆，恰好过正方形四边的中点，则该椭圆的离心率为
A B CD
答案：D 解析：建立坐标系，设出椭圆方程，由条件求出椭圆方程，可得e=
5已知F1（－3，0）、F2（3，0）是椭圆+＝1的两个焦点，P是椭圆上的点，当∠F1PF2＝时，△F1PF2的面积，则有
Am=12，n=3 Bm=24，n=6 Cm=6，n= Dm=12，n=6
答案：A解析：由条件求出椭圆方程即得m=12，n=3
6 点M(x,y)与定点F(1,0)的距离和它到直线x=4的距离的比为2, 则动点M的轨迹方程为 ( )
A B
C 3x2-y2-34x+65=0 D 3x2-y2-30x+63=0
答案: D解析: , 两边平方即得3x2-y2-30x+63=0
7 P是椭圆上的动点, 作PD⊥y轴, D为垂足, 则PD中点的轨迹方程为( )
A B C D
答案: D 解析: 设PD中点为M(x, y), 则P点坐标为(2x, y), 代入方程, 即得
8 已知双曲线,(a>0,b>0), A1、A2是双曲线实轴的两个端点, MN是垂直于实轴所在直线的弦的两个端点, 则A1高二数学知识点讲练-椭圆