《离散数学》考试题型 20
一、填空题1.集合P={1，{a}}的幂集(P)=．2.集合S={n100|n∈N}的基数为。3.由n个命题变元可组成个不等价的命题公式．4.设R是集合A上的二元关系，则...
一、填空题
1. 集合P={1，{a}}的幂集 (P)= ．
2. 集合S={n100 | n∈N}的基数为 。
3. 由n个命题变元可组成 个不等价的命题公式．
4. 设R是集合A上的二元关系，则R是对称的，当且仅当其关系矩阵 ．
5. 设A={1，2，7，8}，B={-5，6，7，9}，则A—B= 。
6. 设(A，≤)是一个有界格，只要满足 ，它也是有补格．
7. A={10，20，30，40，……}，B={n7 | n∈z+}，则|A×B|= ．
8. 设S为非空有限集，代数系统（ (S)， ， ）中， (S)对 的零元为 ， (S)对 的单位元为 ．
9. 设T={t | t∈I，且m≤t≤n}，则代数系统(T，max)有单位元 ，可逆元有 ．
10. 设P：我们划船，Q：我们跑步，则命题“我们不能既划船又跑步”符号化为 ．
11. 若关系R是自反的，当且仅当在关系矩阵中 ，在关系图上 ．
12. 含有n个节点的完全图Kn仅当 时是平面图．
二、计算与证明题
1． 设在实数集R上有运算*定义如下：
a*b=a+b+2ab
（1）（R，*）是代数系统吗？
（2）（R，*）是半群吗？是可换半群吗？
2． 设A={0，1}，B={a，b}，求
（1） A×B； （2）B×A
3． 设集合A={1，2，3，6，8，12，24，36}上的整除关系R，说明R是否偏序关系；若是，画出其哈斯图。
4． 设A={1，2，3，4，…，9}，在A×A上定义关系R：((a，b)，(c，d))∈R当且仅当a+d=b+c，证明R是A×A上的等价关系，并求[(3，7)]R 。
5． 已知有向图G=〈V，E〉，其中V={a，b，c，d}，E={（a，b），（a，c），（c，b），（c，d），（d，a）}
（1）画出该图并求邻接矩阵；
（2）用矩阵法判断该有向图的连通性。
6． 下图给出的赋权图表示7个城市a，b，c，d，e，f及架起城市间直接通讯线路的预测造价。试给出一个设计方案使得各城市间能够通讯且总造价最小，并要求计算出最小总造价。
7． 已知命题公式S=（┐P→R∨P）∧（Q←→P）求S的特异析取范式（提示：先写出真值表）。
8． 设G={2m×3n | m，n∈I}，×：普通乘法，证明（G，×）是群。
9． 设A={2，3}，B={1，4，7}，求A∪B，A∩B，A—B
10． I是整数集，在I上定义 运算，a b=a+2+b
(1) (I， )是否代数系统？
(2) 是否存在单位元？
(3) 是否每一个元素a都存在逆元？若存在，a的逆元是什么？
11． 集合A={a，b，c}上关系R的关系图，如图所示。求r（R）、s（R）和t（R）。
12． 下图给出的赋权图表示7个城市a，b，c，d，e，f及架起城市间直接通讯线路的预测造价。试给出一个设计方案使得各城市间能够通讯且总造价最小，并要求计算出最小总造价。
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1. 集合P={1，{a}}的幂集 (P)= ．
2. 集合S={n100 | n∈N}的基数为 。
3. 由n个命题变元可组成 个不等价的命题公式．
4. 设R是集合A上的二元关系，则R是对称的，当且仅当其关系矩阵 ．
5. 设A={1，2，7，8}，B={-5，6，7，9}，则A—B= 。
6. 设(A，≤)是一个有界格，只要满足 ，它也是有补格．
7. A={10，20，30，40，……}，B={n7 | n∈z+}，则|A×B|= ．
8. 设S为非空有限集，代数系统（ (S)， ， ）中， (S)对 的零元为 ， (S)对 的单位元为 ．
9. 设T={t | t∈I，且m≤t≤n}，则代数系统(T，max)有单位元 ，可逆元有 ．
10. 设P：我们划船，Q：我们跑步，则命题“我们不能既划船又跑步”符号化为 ．
11. 若关系R是自反的，当且仅当在关系矩阵中 ，在关系图上 ．
12. 含有n个节点的完全图Kn仅当 时是平面图．
二、计算与证明题
1． 设在实数集R上有运算*定义如下：
a*b=a+b+2ab
（1）（R，*）是代数系统吗？
（2）（R，*）是半群吗？是可换半群吗？
2． 设A={0，1}，B={a，b}，求
（1） A×B； （2）B×A
3． 设集合A={1，2，3，6，8，12，24，36}上的整除关系R，说明R是否偏序关系；若是，画出其哈斯图。
4． 设A={1，2，3，4，…，9}，在A×A上定义关系R：((a，b)，(c，d))∈R当且仅当a+d=b+c，证明R是A×A上的等价关系，并求[(3，7)]R 。
5． 已知有向图G=〈V，E〉，其中V={a，b，c，d}，E={（a，b），（a，c），（c，b），（c，d），（d，a）}
（1）画出该图并求邻接矩阵；
（2）用矩阵法判断该有向图的连通性。
6． 下图给出的赋权图表示7个城市a，b，c，d，e，f及架起城市间直接通讯线路的预测造价。试给出一个设计方案使得各城市间能够通讯且总造价最小，并要求计算出最小总造价。
7． 已知命题公式S=（┐P→R∨P）∧（Q←→P）求S的特异析取范式（提示：先写出真值表）。
8． 设G={2m×3n | m，n∈I}，×：普通乘法，证明（G，×）是群。
9． 设A={2，3}，B={1，4，7}，求A∪B，A∩B，A—B
10． I是整数集，在I上定义 运算，a b=a+2+b
(1) (I， )是否代数系统？
(2) 是否存在单位元？
(3) 是否每一个元素a都存在逆元？若存在，a的逆元是什么？
11． 集合A={a，b，c}上关系R的关系图，如图所示。求r（R）、s（R）和t（R）。
12． 下图给出的赋权图表示7个城市a，b，c，d，e，f及架起城市间直接通讯线路的预测造价。试给出一个设计方案使得各城市间能够通讯且总造价最小，并要求计算出最小总造价。
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