Question

相似矩阵的和还是相似矩阵吗

Answer 1

答案：相似矩阵的和仍为相似矩阵。
解释：设矩阵 $A,B$ 相似，即存在可逆矩阵 $P$ 使得 $B=P^{-1}AP$，则对于任意可逆矩阵 $Q$，有：
$$QBQ^{-1}=QP^{-1}APQ^{-1}=(QP^{-1})A(QP^{-1})^{-1}$$
即 $B$ 和 $A$ 有相同的特征值，并且相应的特征向量可以通过 $Q$ 和 $P$ 相似地转换。因此，对于相似矩阵 $A,B$ 和任意可逆矩阵 $Q$，有：
$$(QBQ^{-1})+(QAQ^{-1})=Q(B+A)Q^{-1}$$
因此，$B+A$ 也是相似矩阵，与问题相符。
拓展：关于相似矩阵的性质还有很多，如相似矩阵具有相同的迹、秩、行列式等等。这些性质在矩阵论中有着广泛的应用，如在线性代数、微积分、控制论等领域中都有应用。

Answer 2

相似矩阵的和仍然是相似矩阵。相似矩阵是指矩阵A和矩阵B在相似变换下可以变成同一个对角矩阵。若矩阵A和矩阵B相似，则存在一个可逆矩阵P，使得P^-1AP = B。 若矩阵C也与矩阵A相似，则存在一个可逆矩阵Q，使得Q^-1AQ = C。我们可以将相似矩阵A和B的和表示为(A + B)，若我们对(A + B)进行相似变换，即对于P^-1(A + B)P，我们有：P^-1(A + B)P = P^-1AP + P^-1BP = B + A = (A + B)所以，相似矩阵的和仍然是相似矩阵。

Answer 3

1 相似矩阵的和仍为相似矩阵。

2 因为相似矩阵有一个重要的性质：若 $A$ 和 $B$ 是相似矩阵，即存在可逆矩阵 $P$ 使得 $B=P^{-1}AP$，则对于任意实数 $k$，$kA$ 和 $kB$ 也是相似矩阵。
所以对于相似矩阵 $A$ 和 $B$，它们的和 $A+B$ 也满足这个性质，即存在可逆矩阵 $P$ 使得 $(A+B)=P^{-1}(A+B)P$，所以 $A+B$ 仍为相似矩阵。

3 这个结论在矩阵理论中的应用非常广泛，例如可以用来简化计算线性变换或者是求多项式的特征值等等。

Answer 4

是的，如果两个矩阵是相似矩阵，那么它们的和也是相似矩阵。具体来说，如果$A$和$B$是两个相似矩阵，即存在一个可逆矩阵$P$，使得$B=P^{-1}AP$，那么我们可以有：

$$(A+B) = A + B = PBP^{-1} + PAP^{-1} = P(B+A)P^{-1}$$

因此，$A+B$与$B+A$是相似矩阵，即$A+B$也是与$A$和$B$相似的矩阵。

Answer 5

和还是相似矩阵。因为在线性代数中，相似矩阵是指存在相似关系的矩阵。设A，B为n阶矩阵，如果有n阶可逆矩阵P存在，使得P^(-1)AP=B，则称矩阵A与B相似，记为A~B。