Question

有道定积分的题目，大家帮我解答下，非常感谢！

题目： S |x-1|dx . 上限为 2，下限为0。（由于手机功能有限，所以上限和下限无法写在表达式中。）希望大家帮帮我，写下解答步骤，传授一些解答此类问题的思路或方法。不胜感激！

Answer 1

令a=x-1则x=a+1
则设y=|a| 是a的偶函数
当x=2 a=1 当x=0 a=-1
原式=∫yd(a+1)) (从-1 到1)或设b=-1(即从-b到b)
=∫y(da+0)=∫yda(从-1 到1)
=∫yda(-b积到0)+∫yda(0积到b)
=∫yd(-a)(0到-b)+∫yda(0积到b)
=∫yd(a)(0积到b)+∫yda(0积到b)
=2∫yda(0积到b) y>0 Y(a)=∫yda=a^2/2
=2b^2/2=b^2
b=1 则原式=1

这不需要分段求值,只是分段分析规律,要你明白一个偶函数的图像特性以及积分方向等综合问题
利用积分换符和偶函数对称性,实际上不难理解积分过程,上面只是按具体过程做的,看起来很复杂
但是理解后就会对函数和积分特性有更深理解了
1:偶函数关于Y轴对称,如果在-x和x之间积分,显然是一边的两倍
2:积分上下限颠倒时,积分定义为负向(都认为假定的减少),因此是原积分方向的反向值(-)
3:积分的d号,可根据乘法计算规则,符合交换法和分配法,比如d(-a)=-da,而且-可以移到积分号外去
显然整体积分就是反向积分,因此说上下限不颠倒,而颠倒定义x轴的的方向,同样是积分反向值(-)
4:任何d(x+c)都可以看成dx,即对x求积求导,和对和x等变化率的求导和求积是一样的,符合微分和导数关于变换率的概念思维,当然上下限的变量不应变动
如上式d(a+1)=d(a+1)/da * da 其中d(a+1)/da 就是将(a+1)视为一个函数,求其导数 自然是1+0
则*da就是da,即d(a+1)=da
5:显然积分的这种变换,同样和偶函数的定义不矛盾,证明了数学客观规律一致性

对了忘记正式解题
令y=|x-1| 则y关于x=1对称(即函数上的点,皆有对应的点关于x=1直线相对称)
当x>=1时 y=x-1 有Y=x^2/2-x+C(C为常数)
对称点的x投影点,则关于x=1点对称,其中包含x=0对应x=2
则∫ydx [0,2]
=2∫ydx[1,2]
=2(Y(2)-Y(1))
=2((2-2)-(1/2-1))
=2*1/2=1

追问

这题目懂了！谢谢！还有一个问题，题目：求曲线y＊y=2x . 及直线x y=4所围成的图的面积。答案为s=S (x-x＊x)dx （上限为1 ，下限为0）！为什么表达式中不是 （x＊x-x）呢？为什么不是上限为0 下限为1呢？

求曲线y=x*x及直线y=x所围成的面积。答案为s=S (x-x＊x)dx （上限为1 ，下限为0）！为什么表达式中不是 （x＊x-x）呢？为什么不是上限为0 下限为1呢？

追答

这是一道题,还是两道题

 

如果是两道

第一道y^2=2x 和xy=4 是无法围成闭合的图形的,如果算敞开的图形在一定x区间,那是可以求的

但似乎不符合题意

如果是x+y=4 那么即y=4-x如图

但是也得不到你的s计算表达式的结论,有点奇怪

 

那么第二题y=x^2 和y=x形成下图情形

选取焦点,联立方程不难解得有点(0,0)和(1,1)

在这个围起来的图形上,(0,1)区间内必须规定微分是正值,才能积得面积,因此

显然y=x 大于y=x^2

因此微分方程为x-x^2 而这正是你要了解的重点是吧

同时因为积分定义和推导过程也是由于规定x向右发展,视为增长,所以结果是上限>下限

如果上下限颠倒,那么视为负增长,因此在表达式应该先以上限大为准则

除非算出结果是负的,或者需要进行颠倒以变换表达式例外,但无论如何,颠倒了就是要加负号

Answer 2

你好

∫[2，0] |x-1|dx
=∫[2，1] （x-1）dx+∫[1，0] （1-x）dx
=（x²/2-x）│[2，1]+（x-x²/2）│[1，0]
=1/2+1/2
=1

如果本题有什么不明白可以追问，如果满意记得采纳
祝学习进步！

追问

这题目懂了！谢谢！还有一个问题，题目：求曲线y＊y=2x . 及直线x y=4所围成的图形的面积。答案为s=S (x-x＊x)dx （上限为1 ，下限为0）！为什么表达式中不是 （x＊x-x）呢？为什么不是上限为0 下限为1呢？

追答

哦

我们总是要努力让面积为正，为了这个，积分函数要判断上下，或者加绝对值，函数图像在上面的放在前面，做被减数，下面的放在后面做减数。
上下限一般上限都比下限大。这是规定。

Answer 3

分段积分呗，这题目不会只能说明你上课没认真听讲！！

Answer 4

0 ≤ x < 1: f(x) = 1 - x
1 < x ≤ 2: f(x) = x - 1
∫₀²|x-1|dx = ∫₀¹(1 - x)dx + ∫₁²(x - 1)dx
= (x - x²/2)|₀¹ + (x²/2 - x)|₁²
=1 - 1/2 - 0 + 2 - 2 - (1/2 - 1)
= 1

追问

这题目懂了！谢谢！还有一个问题，题目：求曲线y＊y=2x . 及直线x y=4所围成的图的面积。答案为s=S (x-x＊x)dx （上限为1 ，下限为0）！为什么表达式中不是 （x＊x-x）呢？为什么不是上限为0 下限为1

追答

你给的两个函数不太清楚，一个应当是y² = 2x, 另一个是xy = 4还是x + y = 4?

这类题一般要画草图，找出交点，从而确定积分范围，以及上下关系