Question

求直线L1:(x-1)/1=(y+1)/2=z/3在平面π,x+y+2z-5=0上投影直线L的方程

期末题目，求详细答案，谢谢

Answer 1

要求直线L1在平面π上的投影，则只需知道构成直线L1的点的集合，在平面π上的投影点的集合。

由直线L1方程，易知直线L1上的点构成的集合为：。

由平面的集合意义，可知平面π上的点，是与向量(1,1,2)内积为5的点构成的集合，所以平面π的法向量为(1,1,2)。

从而点(t+1+x, 2t-1+x, 3t+2x)与点(t+1, 2t-1, 3t)的连线垂直于平面π（因为平行于π的法向量）。

 

设点(t+1+x, 2t-1+x, 3t+2x)在平面π上，即L1在平面π上的投影组成的集合为，则(t+1+x)+(2t-1+x)+2(3t+2x)-5=0，解得

 

所以L1投影点的集合为

还原为方程表示，得到即为所求投影直线L的方程

Answer 2

二直线确定的平面的法向量可取(1,2,3)和(1,1,2)的外积，即(1,1,-1)，该平面过直线上定点(1,-1,0)，故该平面方程为(x-1)+(y+1)-z=0，即x+y+z=0，将两个平面方程联立即得投影直线的一般式方程，易得标准式方程（X－1）/1=（Y+1）/(-1)=Z/1.