Question

已知圆C 经过点A《-2.0》，B《0.2》且圆心在直线y=X上 又直线L Y=Kx+1与圆C交于P,Q两点

求圆C 方程 是否存在实数K 使OP垂直OQ 说明理由 过点《0.1》作直线M垂直L 交于圆C与MN两点 求四边形PMQN的面积最大值

Answer 1

第一个问题：
方法一：
∵点C在直线y＝x上，∴可设C的坐标为（a，a），半径为r。
这样，⊙C的方程就可以写成：（x－a）^2＋（y－a）^2＝r^2。
∵点A（－2，0）、B（0，2）在⊙C上，∴（－2－a）^2＋a^2＝r^2、a^2＋（2－a）^2＝r^2，
比较上述两式，得：（－2－a）^2＝（2－a）^2，∴4＋4a＋a^2＝4－4a＋a^2，∴a＝0，
从而容易得出：r^2＝4。
∴满足条件的⊙C的方程是：x^2＋y^2＝4。

方法二：
∵⊙C过点A（－2，0）、B（0，2），∴C一定在AB的中垂线上。
由A、B的坐标，容易得出：OA＝OB，∴AB的中垂线就是∠AOB的角平分线，
∴点C在直线y＝－x上，又点C在直线y＝x上，∴点C就是坐标原点。
∴⊙C的半径＝AC＝OA＝2。
∴⊙C的方程是：x^2＋y^2＝4。

第二个问题：
设存在满足条件的K。
联立：x^2＋y^2＝4、y＝Kx＋1，消去y，得：x^2＋（Kx＋1）^2＝4，
∴（1＋K^2）x^2＋2Kx－3＝0。

∵P、Q都在直线y＝Kx＋1上，∴可设P、Q的坐标分别为（m，Km＋1）、（n，Kn＋1）。
显然，m、n是方程（1＋K^2）x^2＋2Kx－3＝0的两根，∴由韦达定理，有：
m＋n＝－2K/（1＋K^2）、mn＝－3/（1＋K^2）。

很明显，向量OP＝（m，Km＋1）、向量OQ＝（n，Kn＋1）。
∵OP⊥OQ，∴向量OP·向量OQ＝0，∴mn＋（Km＋1）（Kn＋1）＝0，
∴mn＋K^2mn＋K（m＋n）＋1＝0，∴（1＋K^2）mn＋K（m＋n）＋1＝0，
∴（1＋K^2）［－3/（1＋K^2）］＋K［－2K/（1＋K^2）］＋1＝0，
∴－2－2K^2/（1＋K^2）＝0，∴K^2/（1＋K^2）＝－1，∴K^2＝－1－K^2，
∴2K^2＝－1＜0，这自然是不合理的。
∴满足条件的K不存在。

第三个问题：
∵PQ的斜率为K，又MN⊥PQ，∴MN的斜率为－1/K。
∴MN的方程为：y＝－（1/K）x＋1。
联立：x^2＋y^2＝4、y＝－（1/K）x＋1，消去y，得：x^2＋［－（1/K）x＋1］^2＝4，
∴（1＋1/K^2）x^2－（2/K）x－3＝0。

∵M、N都直线y＝－（1/K）x＋1上，
∴可设M、N的坐标分别为（p，－（1/K）p＋1）、（q，－（1/K）q＋1）。
显然，p、q是方程（1＋1/K^2）x^2－（2/K）x－3＝0的两根，∴由韦达定理，有：
p＋q＝（2/K）/（1＋1/K^2）＝2K/（1＋K^2）、pq＝－3/（1＋1/K^2）＝－3K^2/（1＋K^2）。

∵PQ＝√［（m－n）^2＋（Km－Kn）^2］＝√［（1＋K^2）（m－n）^2］，
　MN＝√｛（p－q）^2＋［（1/K）p－（1/K）q］^2｝＝√［（1＋1/K^2）（p－q）^2］。
∴PQ×MN＝√｛［（1＋K^2）^2/K^2］（m－n）^2（p－q）^2｝。
∴S(四边形PMQN)
＝（1/2）PQ×MN＝（1/2）√｛［（1＋K^2）^2/K^2］（m－n）^2（p－q）^2｝。

∵m＋n＝－2K/（1＋K^2）、mn＝－3/（1＋K^2），
∴（m＋n）^2－4mn
＝4K^2/（1＋K^2）^2＋12/（1＋K^2）＝（12＋16K^2）/（1＋K^2）^2。

∵p＋q＝2K/（1＋K^2）、pq＝－3K^2/（1＋K^2），
∴（p＋q）^2－4pq
＝4K^2/（1＋K^2）^2＋12K^2/（1＋K^2）＝（16K^2＋12K^4）/（1＋K^2）^2。

∴［（m＋n）^2－4mn］［（p＋q）^2－4pq］
＝（12＋16K^2）（16K^2＋12K^4）/（1＋K^2）^4。

显然，当［（1＋K^2）^2/K^2］（m－n）^2（p－q）^2有最大值时，
S(四边形PMQN)有最大值。
∵［（1＋K^2）^2/K^2］（m－n）^2（p－q）^2
＝［（1＋K^2）^2/K^2］［（m＋n）^2－4mn］［（p＋q）^2－4pq］
＝［（1＋K^2）^2/K^2］［（12＋16K^2）（16K^2＋12K^4）/（1＋K^2）^4］
＝（12＋16K^2）（16＋12K^2）/（1＋K^2）^2
＝16［（3＋4K^2）/（1＋K^2）］［（4＋3K^2）/（1＋K^2）］
＝16［4－1/（1＋K^2）］［1/（1＋K^2）＋3］
＝16［12＋1/（1＋K^2）－1/（1＋K^2）^2］
＝16［13－3/4－1/4＋1/（1＋K^2）－1/（1＋K^2）^2］
＝16（13－3/4）－16［1/2－1/（1＋K^2）］^2。
∴当1/2－1/（1＋K^2）＝0时，
　［（1＋K^2）^2/K^2］（m－n）^2（p－q）^2有最大值＝16（13－3/4）＝4×49。
∴（1/2）√｛［（1＋K^2）^2/K^2］（m－n）^2（p－q）^2｝的最大值＝（1/2）×2×7＝7。
∴S(四边形PMQN)的最大值是7。

追问

你不是人

Answer 2

令圆C的方程为：(x-a)²+(y-a)²=r²
代入(-2,0);(0,2)得：
{(-2-a)²+a²=r²
{a²+(2-a)²=r²
解得：{a=0,r=2
x²+y²=4