Question

已知函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)满足f(0)=0,对于任意x∈R都有f(x)≥x,且f(- 1 /2 +x)=f(-1/2-x)

(1)、求f(x)的表达式
(2)、讨论函数g(x)=f(x)-λx在区间[-2,2]内的单调性

Answer 1

f(0)=c=0
f(x)=ax^2+bx
f(-1/2+x)=f(-1/2-x)，所以f(x)关于直线x=-1/2对称，-b/2a=-1/2，a=b
f(x)=ax^2+ax,
又因为f(x)-x=ax^2+(a-1)x恒大于等于0
所以a>0,（a-1)^2-4a*0≤0，所以a=1，f(x)=x^2+x

g(x)=x^2+(1-入)x
对称轴是x=(入-1)/2.
(1):(入-1)/2<-2,即有入<-3时,在[-2,2]上是单调增函数
(2)-2<=(入-1)/2<=2时,即有-3<=入<=5时,在[-2,(入-1)/2]上是单调减,在[(入-1)/2,2]上是单调增的
(3)(入-1)/2>2时,即有入>5时在[-2,2]上是 单调减的函数.