Question

高数，求通解

Answer 1

由微分方程y″+4y′+4y=0的特征方程为：
r2+4r+4=0
解得：r1，2=-2
∴通解为：
y=（C1+C2x）e-2x，其中C1、C2为任意常数．

r1=3+2i
r2=3-2i
对应的解是
e^(3x)cos2x和e^(3x)sin2x
所以相应常系数齐次线性常微分方程的通解是
e^(3x)(c1cos2x+c2sin2x),其中c1,c2是任意常数.
然后y''-6y'+13y=14的一个特解那么显然y=14/13是这个方程的一个特解.(这一般是猜测或者靠一些别的办法求得,在这个方面没有什么统一的办法)
则方程y''-6y'+13y=14的通解是其一个特解和相应常系数齐次线性常微分方程的通解的和即:
14/13+e^(3x)(c1cos2x+c2sin2x)