Question

大一幂级数相关一题？

Answer 1

假设存在聚点 c ∈ (a, b)，即存在一个子序列 {c_n} 收敛于 c，且对应的 f(c_n) = 0。
由于 f(t) 在 ao 处可展成幂级数，根据幂级数的收敛性可知，对于任意的 ε > 0，存在一个正数 r > 0，使得当 |t - ao| < r 时，对应的幂级数展开式的部分和与 f(t) 的差的绝对值小于 ε。
考虑到 c 是聚点，存在正数 δ > 0，使得当 n 大于某个正整数 N 时，有 |c_n - c| < δ。取 ε = δ，由 f(c_n) = 0 可知，存在正数 r > 0，使得当 |t - c_n| < r 时，对应的幂级数展开式的部分和与 f(t) 的差的绝对值小于 δ。
然而，由于 c_n 收敛于 c，当 n 足够大时，|c_n - c| < δ，进而 |t - c_n| < r，根据前述结论，幂级数展开式的部分和与 f(t) 的差的绝对值小于 δ。这与 f(c_n) = 0 矛盾，因为 f(c_n) 的值应该等于 0。
因此，假设不成立，即函数 f(a) 的零点集在区间 (a, b) 内没有聚点。证毕。