Question

求旋转抛物面z=x²+y²;到平面x+y+z=1的最短距离.

这题怎么理解呢？这两个面不是有交线么，怎么求最短距离呢？

Answer 1

空间点(x0,y0,z0)到平面Ax+By+Cz+D=0的距离为
d=|Ax0+By0+Cz0+D|/√(A^2+B^2+C^2)
设旋转抛物面z=x^2+y^2上的点为(x,y,z)，则到平面x+y+z-1=0的距离为
d(x,y,z)=|x+y+z-1|/√3
令f(x,y,z)=d^2(x,y,z)=(x+y+z-1)^2/3, g(x,y,z)=z-(x^2+y^2)=0
则相当于求f(x)在约束条件g(x)=0下的极值
用拉格朗日乘数法，构造函数F(x,y,z)=f(x,y,z)+λg(x,y,z)
分别对x,y,z,λ求导，并取导数为0，可得
dF/dx=2/3*(x+y+z-1)-λ*2x=0
dF/dy=2/3*(x+y+z-1)-λ*2y=0
dF/dz=2/3*(x+y+z-1)-λ=0
dF/dλ=z-(x^2+y^2)=0
联立上述方程，可解得
λ=-1, x=-1/2, y=-1/2, z=1/2
λ=2, x=1, y=1, z=2
代入距离公式可得
d(-1/2,-1/2,1/2)=|-1/2-1/2+1/2-1|/√3=√3/2
d(1,1,2)=|1+1+2-1|/√3=√3
∴抛物面上的点到平面的最短距离为√3/2
PS：一般的做法是这样的，不过呢，这两个曲面确实是相交的，有点吊诡呢